给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1：

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3 
解释：11 = 5 + 5 + 1
示例 2：

输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1
示例 3：

输入：coins = [1], amount = 0
输出：0

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/coin-change
解题思路：

先确定状态，原问题和子问题中变化的变量。由于硬币无限，唯一的状态就是金额amount。

然后确定dp函数的定义：当前目标金额是n，至少需要dp(n)个硬币凑出该金额。

然后确定选择（择优），就是对每个状态，可以做出什么选择，改变当前状态。当前问题，不论目标金额是多少，选择coins中的一个硬币，目标金额就减少。

明确base case，目标金额为0，硬币数为0；

目标金额小于0时，无解，返回-1。

/**
 * 给你 k 种⾯值的硬币，⾯值分别为 c1, c2 ... ck ，每种硬币的数量⽆限，再给⼀个总⾦额 amount， 
 * 问你最少需要⼏枚硬币凑出这个⾦额，如果不可能凑出，算法返回 -1 。
 */
public class CoinChangeSolution {
    /**
     * 1.递归解法
     * 递归解法时间复杂度：子问题总数 * 每个子问题的时间
     * O(n^k) * O(k) = O(k * n^k)
     */
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        //base case
        if (amount == 0) return 0;
        if (amount < 0) return -1;
        //设最大为初始值
        int res = Integer.MAX_VALUE;
        for (int coin : coins) {
            int subProblem = coinChange(coins, amount - coin);
            //子问题无解，跳过
            if (subProblem == -1) continue;
            res = Math.min(res, 1 + subProblem);
        }
        return res != Integer.MAX_VALUE ? res : -1;
    }

    /**
     *2.带备忘录的递归解法
     */
    public int coinChangeWithMap(int[] coins, int amount) {
        Map<Integer, Integer> memo = new HashMap<>(amount);
        return dpWithMap(coins, amount, memo);
    }

    public int dpWithMap(int[] coins, int amount, Map<Integer, Integer> memo) {
        //使用map，节约重复子问题耗时
        if (memo.get(amount) != null) return memo.get(amount);
        //base case
        if (amount == 0) return 0;
        if (amount < 0) return -1;
        //设最大为初始值
        int res = Integer.MAX_VALUE;
        for (int coin : coins) {
            int subProblem = dpWithMap(coins, amount - coin, memo);
            //子问题无解，跳过
            if (subProblem == -1) continue;
            res = Math.min(res, 1 + subProblem);
        }
        memo.put(amount, res != Integer.MAX_VALUE ? res : -1);
        return memo.get(amount);
    }

    /**
     *3.dp数组解法
     *自底向上，消除子问题
     */
    public int coinChangeDP(int[] coins, int amount) {
        int initValue = amount + 1;
        int[] dp = new int[initValue];
        for (int i = 0;i < dp.length; i++) dp[i] = initValue;
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0;i < dp.length; i++) {
            //内循环求所有子问题 + 1的最小值
            for (int coin : coins) {
                //子问题无解，跳过
                if (i - coin < 0) continue;
                dp[i] = Math.min(dp[i], 1 + dp[i - coin]);
            }
        }
        return dp[amount] == initValue ? -1 : dp[amount]; 
    }

   /**
     * 测试类
     */
    @Test
    public void testCoinChange() {
        int[] coins = {1,2,5};
        int amount = 36;
        System.out.println(System.currentTimeMillis());
        System.out.println(coinChange(coins, amount));
        System.out.println(System.currentTimeMillis());
        System.out.println(coinChangeWithMap(coins, amount));
        System.out.println(System.currentTimeMillis());
        System.out.println(coinChangeDP(coins, amount));
        System.out.println(System.currentTimeMillis());
    }
}