14.经典动态规划:完全背包问题

零钱兑换②(LeetCode 518题 难度:中等)

14.经典动态规划:完全背包问题

我们可以把这个问题转化为背包问题的描述形式
有一个背包,最大容量为amount,有一系列物品coins,每个物品的重量为coins[i]每个物品的数量无限。请问有多少种方法,能够把背包恰好装满?

这个问题和我们前面讲过的两个背包问题,有一个最大的区别就是,每个物品的数量是无限的,这也就是传说中的「完全背包问题」,没啥高大上的,无非就是状态转移方程有一点变化而已。

解题思路

第一步要明确两点,「状态」和「选择」

状态有两个,就是「背包的容量」「可选择的物品」,选择就是「装进背包」或者「不装进背包」

明白了状态和选择,动态规划问题基本上就解决了,只要往这个框架套就完事儿了:

	for 状态1 in 状态1的所有取值:  
		for 状态2 in 状态2的所有取值:        
			for ...           
				dp[状态1][状态2][...] = 择优(选择1,选择2...)

第二步要明确****dp数组的定义

首先看看刚才找到的「状态」,有两个,也就是说我们需要一个二维dp数组。

dp[i][j]的定义如下:

若只使用前i个物品,当背包容量为j时,有dp[i][j]种方法可以装满背包。

换句话说,翻译回我们题目的意思就是:

若只使用coins中的前i个硬币的面值,若想凑出金额j,有dp[i][j]种凑法

经过以上的定义,可以得到:

base case 为dp[0][..] = 0, dp[..][0] = 1。因为如果不使用任何硬币面值,就无法凑出任何金额;如果凑出的目标金额为 0,那么“无为而治”就是唯一的一种凑法。

我们最终想得到的答案就是dp[N][amount],其中Ncoins数组的大小。

伪代码:

	int dp[N+1][amount+1]  
	dp[0][..] = 0  
	dp[..][0] = 1  
  
	for i in [1..N]:  
 		for j in [1..amount]:  
 			把物品 i 装进背包,  
 			不把物品 i 装进背包  
return dp[N][amount]

第三步,根据「选择」,思考状态转移的逻辑

注意,我们这个问题的特殊点在于物品的数量是无限的,所以这里和之前写的背包问题文章有所不同。

如果你不把这第i个物品装入背包,也就是说你不使用coins[i]这个面值的硬币,那么凑出面额j的方法数dp[i][j]应该等于dp[i-1][j],继承之前的结果。

如果你把这第i个物品装入了背包,也就是说你使用coins[i]这个面值的硬币,那么dp[i][j]应该等于dp[i][j-coins[i-1]]

首先由于i是从 1 开始的,所以coins的索引是i-1时表示第i个硬币的面值。

dp[i][j-coins[i-1]]也不难理解,如果你决定使用这个面值的硬币,那么就应该关注如何凑出金额j - coins[i-1]

比如说,你想用面值为 2 的硬币凑出金额 5,那么如果你知道了凑出金额 3 的方法,再加上一枚面额为 2 的硬币,不就可以凑出 5 了嘛。

综上就是两种选择,而我们想求的dp[i][j]是「共有多少种凑法」,所以dp[i][j]的值应该是以上两种选择的结果之和

for (int i = 1; i <= n; i++) {  
 for (int j = 1; j <= amount; j++) {  
 	if (j - coins[i-1] >= 0)  
 		dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j-coins[i-1]];  
return dp[N][W]

最后一步,把伪码翻译成代码,处理一些边界情况

int change(int amount, int[] coins) {  
 int n = coins.length;  
 int[][] dp = amount int[n + 1][amount + 1];  
 // base case  
 for (int i = 0; i <= n; i++)   
 	dp[i][0] = 1;  
  
 for (int i = 1; i <= n; i++) {  
	 for (int j = 1; j <= amount; j++)  
		 if (j - coins[i-1] >= 0)  
 			dp[i][j] = dp[i - 1][j]   
 						+ dp[i][j - coins[i-1]];  
		 else   
 			dp[i][j] = dp[i - 1][j];  
 	}  
 return dp[n][amount];  
}
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