线性代数之——复数矩阵

为了完整地展示线性代数,我们必须包含复数。即使矩阵是实的,特征值和特征向量也经常会是复数。

1. 虚数回顾

虚数由实部和虚部组成,虚数相加时实部和实部相加,虚部和虚部相加,虚数相乘时则利用 \(i^2=-1\)。

线性代数之——复数矩阵

在虚平面,虚数 \(3+2i\) 是位于坐标 \((3, 2)\) 的一个点。复数 \(z=a+bi\) 的共轭为 \(\bar z=z^*=a-bi\)。

线性代数之——复数矩阵

在极坐标下,复数则可以写作模长和极角的形式。

线性代数之——复数矩阵

两个复数相乘是模长相乘,极角相加。

线性代数之——复数矩阵

线性代数之——复数矩阵

\[(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta} \]

线性代数之——复数矩阵

线性代数之——复数矩阵

2. 厄米特(Hermitian)矩阵和酉(Unitary)矩阵

这部分的重点可以用一句话来介绍:当你对一个复数向量或者矩阵进行转置时,同时对它们取共轭。

线性代数之——复数矩阵

为什么要这样做呢?一个理由是复数向量长度的特殊性。针对实向量,其长度的平方为 \(x_1^2+\cdots+x_n^2\),但复数向量长度的平方并不是 \(z_1^2+\cdots+z_n^2\)。比如 \(z=(1, i)\) 长度的平方并不是 \(1^2+i^2=0\),而应该是 \(z\bar z=1^2+|i^2|=2\)。

线性代数之——复数矩阵

我们定义一个新符号,\(\bar z^T=z^H\),来表示向量的共轭转置,这个符号也可以应用到矩阵中去。

线性代数之——复数矩阵

同时,我们也要对向量的内积定义进行一下扩展,但内积为零仍然表明正交。

线性代数之——复数矩阵

这时候,向量的顺序就变得重要了。

\[\boldsymbol v^H\boldsymbol u=\bar v_1u_1+\cdots+\bar v_nu_n=(\boldsymbol u^H\boldsymbol v)^* \]

线性代数之——复数矩阵

一个厄米特矩阵满足 \(A^H=A\),每一个实对称矩阵都是厄米特的,因为实数的共轭还是它本身。

线性代数之——复数矩阵

如果 \(A^H=A\),\(\boldsymbol z\) 是任意向量,那么 \(\boldsymbol z^HA\boldsymbol z\) 是实数。

\[(z^HAz)^H=z^HA^Hz=z^HAz \]

线性代数之——复数矩阵

来自对角线上的两项都是实数,而来自非对角线上的两项互为共轭,相加之后也为实数。

厄米特矩阵的每个特征值都是实数。

\[A\boldsymbol z=\lambda \boldsymbol z \to \boldsymbol z^HA\boldsymbol z=\lambda \boldsymbol z^H \boldsymbol z \]

上式左边为实数,\(\boldsymbol z^H\boldsymbol z\) 是长度的平方,是正实数,所以特征值也必须为实数。

线性代数之——复数矩阵

厄米特矩阵对应于不同特征值的特征向量是正交的。

\[\tag{1}A\boldsymbol z=\lambda \boldsymbol z \to \boldsymbol y^HA\boldsymbol z=\lambda \boldsymbol y^H\boldsymbol z \]

\[\tag{2}A\boldsymbol y=\beta \boldsymbol y \to \boldsymbol z(A\boldsymbol y)^H=\boldsymbol z(\beta \boldsymbol y)^H \to \boldsymbol y^HA\boldsymbol z=\beta \boldsymbol y^H\boldsymbol z \]

比较 (1) 式和 (2) 式可得,两式左边相等,所以右边应该也相等。又由于两个特征值不一样,所以有 \(y^H\boldsymbol z=0\),两个特征向量正交。

线性代数之——复数矩阵

酉矩阵是一个有着标准正交列的方阵。

线性代数之——复数矩阵

任意有着标准正交列的矩阵满足 \(U^HU=I\),如果它还是一个方阵,那么有 \(U^H=U^{-1}\)。

一个酉矩阵乘以任意向量,向量的长度保持不变。

\[\boldsymbol z^HU^HU\boldsymbol z=\boldsymbol z^H\boldsymbol z \]

而且,酉矩阵的所有特征值的绝对值都为 1。

线性代数之——复数矩阵

最后,我们来总结一下实数和虚数向量以及矩阵之间的一些概念迁移。

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