1. 恒等变换

现在让我们来找到这个特殊无聊的变换 \(T(\boldsymbol v)=\boldsymbol v\) 对应的矩阵。这个恒等变换什么都没有做，对应的矩阵是恒等矩阵，如果输出的基和输入的基一样的话。

如果 \(T(\boldsymbol v_j)=\boldsymbol v_j = \boldsymbol w_j\)，那么变换矩阵就是 \(I\)。

但是，如果基底不一样的话，那么 \(T(\boldsymbol v_1)=\boldsymbol v_1\) 将会是 \(\boldsymbol w\) 的组合 \(m_{11}\boldsymbol w_1+\cdots+m_{n1}\boldsymbol w_n\)，组合系数也就是矩阵 \(M\) 的第一列。

变换前后基改变了但向量本身并没有变，当输入和输出的基不一样的时候，变换矩阵就不是恒等矩阵了。

2. 小波变换=改变到小波基底

小波具有不同的长度并且位于不同的地方，第一个基向量其实不是小波，它是一个非常有用的常向量。下面是一个小波的例子：

这些向量是正交的，非常好。可以看到，\(\boldsymbol w_3\) 定位于前一半，而 \(\boldsymbol w_4\) 定位于后一半。小波变换旨在找到一组系数 \(c_1, c_2, c_3, c_4\) 来用小波基向量表示输入信号 \(v=(v_1, v_2, v_3, v_4)\)。

系数 \(c_1\) 代表均值，而系数 \(c_3\) 和 \(c_4\) 分别告诉我们前一半和后一半的详细信息。为什么我们要改变基向量呢？可以认为 \(v_1, v_2, v_3, v_4\) 是信号的强度，当然 4 是非常小的一个数字，实际上可能有 \(n=10,000\)。我们想要压缩这个信号，只保留最大 5% 的系数，这样就能做到 20:1 的压缩比。

如果我们保留标准基下系数的 5%，我们就会丢失掉信号的 95%。但是，如果我们选择一组更好的基底，5% 的基向量就能恢复到和原始信号非常接近。在图像处理和音频编码领域，你根本看不出听不出区别来，我们根本不需要其它的 95%。

在线性代数里，一切都是完美的，我们省略压缩的步骤。输出 \(\hat {\boldsymbol v}\) 和输入 \(\boldsymbol v\) 一模一样，变换得到 \(c=W^{-1}\boldsymbol v\)，重建过程则将我们带回到原点 \(\boldsymbol v=Wc\)。在真正的信号处理领域，没有什么是完美的但一切都很快，无损失的变换和只丢失不必要信息的压缩过程是成功的关键，我们有 \(\hat {\boldsymbol v}=W\hat c\)。

3. 傅里叶变换=改变到傅里叶基底

一个电气工程师对一个信号做的第一件事就是求它的傅里叶变换。针对有限的向量，我们要讨论的是离散傅里叶变换。离散傅里叶变换涉及到复数，但如果我们选择 \(n=4\)，矩阵非常小并且仅有的复数是 \(i\) 和 \(i^3=-i\)。

第一列仍然是常向量，代表信号均值或者直流分量。是一个频率为零的波，第三列则以最高的频率改变。傅里叶变换将信号分解成等间隔频率的波。傅里叶矩阵绝对是数学、科学和工程学领域最重要的复数矩阵，快速傅里叶变化通过加速傅里叶变化的过程，彻底改变了工业界。漂亮的是傅里叶矩阵和其逆矩阵非常像，改变一下符号即可。

4. 一点备忘

假设第一组基为 \(\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_n\)，第二组基为 \(\boldsymbol w_1, \cdots, \boldsymbol w_n\)，由 \(V\to W\) 的基变换矩阵为 \(M\)，那么我们有：

\[V=WM \]

一个向量 \(\boldsymbol s\) 在 \(V\) 和 \(W\) 下的坐标分别为 \(\boldsymbol x\) 和 \(\boldsymbol y\)，那么我们有：

\[\boldsymbol s = V\boldsymbol x=W\boldsymbol y \to M\boldsymbol x=\boldsymbol y \]

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