线性代数-矩阵的初等变换

矩阵的初等变换是线性代数中的基本运算,初等变换包括三种初等行变换与三种初等列变换。分别为:

  • 对换变换,即i行与j行进行交换,记作ri <->rj;
  • 数乘变换,非零常数k乘以矩阵的第i行,记作kri;
  • 倍加交换,矩阵第i行的k倍加到第j行上,记作rj + kri

对应关系换成列,即为三种初等列变换。矩阵变换可以化简矩阵、解线性方程组、求矩阵的逆矩阵。

 

行阶梯形的定义:

1、对于行而言,若有零行,则零行均在非零行的下方;

2、从第一行开始,每行第一个非零元素前面的零逐行增加。

 

对于矩阵A,很显然符合行阶梯形的定义:

\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
0 & 2 & 4 & 5 & 6\\
0 & 0 & 0 & 0 & 7\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}

对第一行作 r1 - r2 变换得到矩阵:

\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & -1 & -1\\
0 & 2 & 4 & 5 & 6\\
0 & 0 & 0 & 0 & 7 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}

 继续作 0.5 r2 变换

\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & -1 & -1\\
0 & 1 & 2 & 5/2 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0 & 7\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}

 r2 - 3/7 r3; r1 + 1/7r3 变换

\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & -1 & 0\\
0 & 1 & 2 & 5/2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 7\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}

1/7 r3 变换

\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & -1 & 0\\
0 & 1 & 2 & 5/2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}

对于矩阵Amxn,通过有限次初等变换可以转换成行阶梯形的形式。

A的最简形:非零行的第一个非零元素是1,且1所在的列,非零元素均为零。显然最后一个行阶梯形矩阵符合A的行最简形定义。

A的标准型:左上角是一个r阶的单位矩阵,其余元素为零。

 

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