这一部分我们关注正的矩阵，矩阵中的每个元素都大于零。一个重要的事实：最大的特征值是正的实数，其对应的特征向量也如是。最大的特征值控制着矩阵 \(A\) 的乘方。

假设我们用 \(A\) 连续乘以一个正的向量 \(\boldsymbol u_0=(a, 1-a)\)，

\(k\) 步后我们得到 \(A^k\boldsymbol u_0\)，这些向量 \(\boldsymbol u_1,\boldsymbol u_2, \boldsymbol u_3,\cdots\)会接近于一个稳定状态 \(\boldsymbol u_\infty=(0.6, 0.4)\)。这个最终的结果不依赖于输入向量：对每一个 \(\boldsymbol u_0\) 我们都收敛到相同的 \(\boldsymbol u_\infty\)。稳定状态方程 \(A\boldsymbol u_\infty=\boldsymbol u_\infty\) 说明 \(\boldsymbol u_\infty\) 是对应于特征值为 1 的一个特征向量。

乘以矩阵 \(A\) 后的确不会改变 \(\boldsymbol u_\infty\)，但这依然不能解释为什么所有的 \(\boldsymbol u_0\) 都会变成 \(\boldsymbol u_\infty\)。让我们来看另外一个例子，它可能有一个稳定状态，但却不是总能到达。

在这种情况下，我们的起始向量为 \(\boldsymbol u_0=(0, 1)\)，然后我们得到 \(\boldsymbol u_1=(0, 2)\)，\(\boldsymbol u_2=(0, 4)\)，第二个元素每次都会加倍。用特征值的语言来说，矩阵的特征值为 \(\lambda_1=1\)，\(\lambda_2=2\)，输入向量在不稳定特征向量方向的分量每次都乘以了 \(\lambda_2=2\)，这会导致发散。

我们讨论矩阵的两个特殊属性来使得稳定状态一定可以达到，这两个属性定义了马尔科夫矩阵，上面的 \(A\) 就是一个例子。

马尔科夫矩阵满足：1. 每个元素是非负的；2. 每列元素相加等于 1。

如果 \(A\) 是马尔科夫矩阵，那么我们立马就有：

• 乘以一个非负向量 \(\boldsymbol u_0\) 我们仍热得到一个非负向量 \(\boldsymbol u_1=A\boldsymbol u_0\)
• 如果向量 \(\boldsymbol u_0\) 元素相加为 1，那么 \(\boldsymbol u_1=A\boldsymbol u_0\) 的元素相加也为 1

假设丹佛市汽车出租的起始比例为 0.02，丹佛市之外的比例为 0.98。每个月，丹佛市 80% 的汽车留在本地，20% 流出，市外有 5% 的汽车流进，95% 的汽车还留在市外，那么我们有

注意到 0.065+0.935=1，所有的汽车都被统计了，总量始终为 1。

这部分涉及到矩阵的乘方，我们首先想到的就是要对矩阵进行对角化 \(A=S\Lambda S^{-1}\)，然后 \(A^k=S\Lambda^k S^{-1}\)。

上面的方程向我们展示实际发生了什么，特征值为 1 的特征向量是稳定状态，另一个特征向量随着迭代次数的增加逐渐消失。步数越多，我们就越接近于 \(\boldsymbol u_\infty=(0.2, 0.8)\)。在极限情况下，20% 的汽车在丹佛市 80% 的汽车在市外。

由于 \(A\) 的每一列相加等于1，所以 \(A-I\) 的每一列相加等于 0，这也就是说 \(A-I\) 的行是相关的，其行列式为零，所以 1 是 \(A\) 的一个特征值。如果有特征值大于 1，那么乘方后 \(A^k\) 元素值会增加，但 \(A^k\) 仍然是一个马尔科夫矩阵，其元素值非负且每列和为 1，所以这不可能发生，没有特征值绝对值大于 1。

当还有其它特征值的绝对值为 1时，我们要特别注意。

这个矩阵每次把丹佛市的汽车都送到外面，同时把外面的汽车都送进来，矩阵的乘方要么是本身要么是恒等矩阵，没有稳定状态。假设矩阵及其乘方的元素严格限制为都是正数，不允许有零出现，那么其余特征值严格小于 1，肯定可以达到稳定状态。

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