在进行矩阵的运算的时候，我们会发现我们没有定义矩阵的除法，但是经常又需要做类似的操作，因而我们引入矩阵的逆的概念，用以填补这个空白。
矩阵的逆
由于我们在定义矩阵运算的时候只定义了数乘和矩阵乘法，而没有除法运算。和逆元的产生一样，我们为了定义出除法，我们采用乘一个数/矩阵得到单位1/单位矩阵的方法，并定义这个数/矩阵为原数/原矩阵的乘法。
注：单位矩阵是一个除了主对角线为1，其他全为0的方阵。由于阶数不固定，因而有无穷多种单位矩阵。
[ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\\end{bmatrix} ⎣⎡100010001⎦⎤
定义：设 A A A为 n n n阶方阵，若存在 n n n阶方阵 B B B，使得 A B = B A = I AB=BA=I AB=BA=I，则称 B B B为 A A A的逆，并称 A A A为可逆矩阵。 记 A − 1 A^{-1} A−1为 A A A的逆。
若 A A A可逆，则逆唯一。
证明：若 B B B与 C C C都是 A A A的逆，由定义 A B = B A = I AB=BA=I AB=BA=I， A C = C A = I AC=CA=I AC=CA=I，则有：
B = I B = ( C A ) B = C ( A B ) = C I = C B=IB=(CA)B=C(AB)=CI=C B=IB=(CA)B=C(AB)=CI=C
即 B = C B=C B=C
有一种用行列式来判定和计算矩阵是否可逆的方法，过于繁琐，不适用于计算，只在此介绍。
定义：设 n n n阶方阵
[ a 11 a 12 a 13 ⋯ a 1 n a 12 a 22 a 23 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 a n 3 ⋯ a n n ] \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn} \\ \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎡a11a12⋮an1a12a22⋮an2a13a23⋮an3⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann⎦⎥⎥⎥⎤
由 A A A的行列式 ∣ A ∣ |A| ∣A∣中元素 a i j a_{ij} aij的代数余子式 A i j A_{ij} Aij构成的如下 n n n阶方阵：
A ∗ = [ A 11 A 21 A 31 ⋯ A n 1 A 12 A 22 A 32 ⋯ A n 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A n 1 A n 2 A 3 n ⋯ A n n ] A^*=\begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & A_{31} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n1} & A_{n2} & A_{3n} & \cdots & A_{nn} \\ \end{bmatrix} A∗=⎣⎢⎢⎢⎡A11A12⋮An1A21A22⋮An2A31A32⋮A3n⋯⋯⋱⋯An1An2⋮Ann⎦⎥⎥⎥⎤
称 A ∗ A^* A∗为 A A A的伴随矩阵，而 A A A可逆的充要条件为 ∣ A ∣ ≠ 0 |A| \neq 0 ∣A∣=0，且
A − 1 = A ∗ ∣ A ∣ A^{-1}=\frac{A^*}{|A|} A−1=∣A∣A∗
此处证明需要用到行列式的性质，在此略去。
下文有更简单的判定和计算方法。
逆变换有一重要性质：若 A , B A,B A,B均可逆，则 A B AB AB也可逆，且 ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} (AB)−1=B−1A−1。该性质可以反复利用，因此可以拓展到 k k k个可逆行列式相乘：
( A 1 A 2 … … A k ) − 1 = A k − 1 A k − 1 − 1 … … A 1 − 1 (A_1A_2……A_k)^{-1}=A_k^{-1}A_{k-1}^{-1}……A_1^{-1} (A1A2……Ak)−1=Ak−1Ak−1−1……A1−1
初等矩阵
把单位矩阵进行一次初等行变换，就得到了初等矩阵。复习一下，初等行变换有以下三种：
1.交换矩阵的任意两行。
2.用一个非零整数 k k k乘矩阵的任意一行。
3.将矩阵中某一行乘以 k k k倍加到另外一行。
因此对于三阶单位矩阵 I 3 I_3 I3
[ 1 0 0 0 1 0 − 4 0 1 ] [ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 0 1 0 0 0 5 ] \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ -4 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 5 \\ \end{bmatrix} ⎣⎡10−4010001⎦⎤⎣⎡010100001⎦⎤⎣⎡100010005⎦⎤
均为初等矩阵。
由于初等行变换可逆（可以改过去又可以改回来），因此初等矩阵可逆。
证明：设 E E E为一初等矩阵，由于 E I = E EI=E EI=E，因此任意一个初等矩阵可以视为对 I I I矩阵的一种变换，使其变为 E E E矩阵。由于初等行变换可逆，则存在 E E E变换的逆变换 F F F，将 E E E矩阵变回 I I I，因此 E F = I EF=I EF=I，即 E E E可逆，且其逆为 E E E的逆变换。
到此可以引出本题的证明了：
方阵 A A A可逆，当且仅当 A A A行等价于 I n I_n In ，即 A A A经过若干次行变换可以变成 I n I_n In
充分性：由于 A A A可逆，则方程 A x = b Ax=b Ax=b必有解，其中 x , b x,b x,b均为向量（求解只需要在等式两边左乘以 A − 1 A^{-1} A−1即可）。那么，对于解 x x x：
x = [ x 1 x 2 ⋮ x n ] x=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\\ \end{bmatrix} x=⎣⎢⎢⎢⎡x1x2⋮xn⎦⎥⎥⎥⎤
必可写出与 A A A等价的增广矩阵 A ′ A' A′（因为解一样）：
A ′ = [ 1 x 1 1 x 2 ⋱ ⋮ 1 x n ] A'=\left[ \begin{array}{cccc|c} 1&&&&x_1\\ &1&&&x_2\\ &&\ddots\ && \vdots\\ &&&1&x_n \end{array} \right] A′=⎣⎢⎢⎢⎡11⋱ 1x1x2⋮xn⎦⎥⎥⎥⎤
那么原矩阵必与 I n I_n In等价，否则无法化简成 A ′ A' A′
必要性：如果 A A A等价于 I n I_n In，则 A A A是由若干次初等行变换得到。对于每次初等行变换都有一个对应的初等矩阵，那么这些操作可以被记作：
E p E p − 1 … … E 1 A = I n E_pE_{p-1}……E_1A=I_n EpEp−1……E1A=In
由矩阵逆的另一种定义，若 A A A可逆，则必存在一种能让 A A A回到 I n I_n In的方法。考虑对上式两边左乘 ( E p E p − 1 … … E 1 ) − 1 (E_pE_{p-1}……E_1)^{-1} (EpEp−1……E1)−1
( ( E p E p − 1 … … E 1 ) − 1 E p E p − 1 … … E 1 ) A = ( E p E p − 1 … … E 1 ) − 1 I n ((E_pE_{p-1}……E_1)^{-1}E_pE_{p-1}……E_1)A=(E_pE_{p-1}……E_1)^{-1}I_n ((EpEp−1……E1)−1EpEp−1……E1)A=(EpEp−1……E1)−1In
即 A = ( E p E p − 1 … … E 1 ) − 1 A=(E_pE_{p-1}……E_1)^{-1} A=(EpEp−1……E1)−1，为可逆矩阵的乘积，因此 A A A可逆，且 A − 1 = E p E p − 1 … … E 1 A^{-1}=E_pE_{p-1}……E_1 A−1=EpEp−1……E1。因此， A − 1 A^{-1} A−1可以由 E 1 , E 2 , … … , E p E_1,E_2,……,E_p E1,E2,……,Ep依次作用于 I n I_n In得到。
得证。
接下来就是解法时间
我们把 A A A和 I n I_n In置于同一矩阵中：
[ A I n ] \begin{bmatrix} A & I_n \end{bmatrix} [AIn]
对其进行高斯-若尔当消元操作将 A A A变换为 I n I_n In。由于是在同一矩阵中，因此 A A A和 I n I_n In得到的操作都是一样的。我们只需要让前面的 A A A变换为 I n I_n In，那么对于同一过程， I n I_n In就会变成矩阵的逆。
用一张图来表示这个互相转化关系：
A ⇔ P ′ P I n ⇔ P ′ P A − 1 A\stackrel{P}{\underset{P'}{\Leftrightarrow}}I_n\stackrel{P}{\underset{P'}{\Leftrightarrow}}A^{-1} AP′⇔PInP′⇔PA−1
下面是洛谷P4783的代码，内含逆元，但是大体思路一样，因而还是放上代码。
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const long long mod = 1000000007;
long long power(long long a,int x)//快速幂板子
{
long long ans = 1;
while(x)
{
if(x&1)
{
ans *= a;
ans %= mod;
}
a *= a;
a %= mod;
x >>= 1;
}
return ans % mod;
}
long long a[405][805];
int main()
{
int n, m;
scanf("%d", &n);
m = 2 * n;//矩阵的宽
for (int i = 1; i <= n;i++)
{
for (int j = 1; j <= n;j++)
scanf("%lld", &a[i][j]);
a[i][i + n] = 1;//后面要跟上一个n阶单位矩阵
}
for (int i = 1; i <= n; i++)//高斯-若尔当消元的板子
{
int place = i;
for (int j = i + 1; j <= n; j++)//找到绝对值最大的元素开始消元
if(abs(a[j][i])>abs(a[place][i]))
place = j;
if (i != place)
swap(a[i], a[place]);
if(!a[i][i])//如果某行没有主元则A无法化为单位矩阵，无解
{
printf("No Solution");
return 0;
}
long long inv = power(a[i][i], mod - 2);//本题加入的逆元特色
for (int j = 1; j <= n; j++)
if(j!=i)
{
long long multiple = a[j][i] * inv % mod;//等价于除以a[i][i]，消去其他行在第i列上的数，使之变成简化阶梯形矩阵
for (int k = i; k <= m; k++)
a[j][k] = ((a[j][k] - a[i][k] * multiple) % mod + mod) % mod;
}
for (int j = 1; j <= m; j++)//由于此处需要简化阶梯型矩阵，要把原矩阵化为简化矩阵的必须操作。
//“在使用高斯-若尔当消元的时候，计算机计算的时候通常采用回带法，而人操作的时候建议采用此法。”——《线性代数及其应用》
a[i][j] = (a[i][j] * inv % mod);
}
for (int i = 1; i <= n;i++)
{
for (int j = n + 1; j <= m; j++)//只打印后面，前面的单位矩阵不要打出来了
printf("%lld ", a[i][j]);
printf("\n");
}
return 0;
}