这部分我们通过选择更好的基底来产生更好的矩阵。当我们的目标是对角化矩阵时，一个选择可以是一组特征向量基底，另外一个选择可以是两组基底，输入基底和输出基底是不一样的。这些左右奇异向量是矩阵四个基本子空间中标准正交的基向量，它们来自于 SVD。
事实上，所有对 \(A\) 的分解都可以看作是一个基的改变。在这里，我们只关注两个突出的例子，有一组基的 \(\Lambda\) 和有两组基的 \(\Sigma\)。
\(S^{-1} AS=\Lambda\) 如果输入和输出基都是 \(A\) 的特征值。
\(U^{-1} AV=\Sigma\) 如果这些基分别是 \(A^TA\) 和 \(AA^T\) 的特征值。
只有当 \(A\) 是方阵并且有 \(n\) 个不相关的特征向量时，我们才能将其对角化成 \(\Lambda\)。而通过 SVD，任意矩阵都可以对角化成 \(\Sigma\)。如果一个矩阵是对称的、反对称的或者正交的，那么有 \(A^TA=AA^T\)，在这种情况下，奇异值是特征值的绝对值，上面的两个对角化形式除了一个 \(-1\) 或者 \(e^{i\theta}\) 的因子外是相同的。
另外，注意 Gram-Schmidt 分解 \(A=QR\) 只选择了一个新的基底，也就是通过 \(Q\) 给出的输出正交基，而输入基底则是标准基由 \(I\) 给出。我们只得到一个上三角矩阵而不是对角矩阵，\(A=QRI\) ，输出基矩阵在左边而输入基矩阵在右边。
1. 相似矩阵：\(S,S^{-1}AS \space 和 \space W^{-1}AW\)
让我们以一个方阵和一组基开始，输入空间 \(V\) 和输出空间 \(W\) 都是 \(R ^n\)。在标准基下，线性变换 \(T\) 是乘以矩阵 \(A\)。如果我们改变了输入空间的基，那么矩阵就变成了 \(AM\)，\(M\) 是基变换矩阵；如果我们改变了输出空间的基，那么矩阵就变成了 \(M^{-1}A\)。
如果以上面同样的方式同时改变了两组基，那么新的矩阵就为 \(M^{-1}AM\)。而一组好的基是矩阵的特征向量，我们就有 \(S^{-1} AS=\Lambda\)。
当基中包含特征向量 \(\boldsymbol{x_1},\cdots,\boldsymbol{x_n}\) 时，变换 \(T\) 对应的矩阵是 \(\Lambda\)。
-
证明
要找到矩阵的第一列，输入第一个基向量 \(\boldsymbol{x_1}\)，由 \(A\boldsymbol{x_1}=\lambda_1\boldsymbol{x_1}\) 可得矩阵的第一列为 \((\lambda_1, 0, \cdots,0)\)。同理可得其它的每一列，最终矩阵为一个对角矩阵，对角线上元素为特征值。 -
例子
要找到投影到直线 \(y=-x\) 的变换矩阵。坐标 \((1, 0)\) 投影到 \((0.5, -0.5)\)，坐标 \((0, 1)\) 投影到 \((-0.5, 0.5)\)，所以在标准基下，变换矩阵为
\[A = \begin{bmatrix} 0.5&-0.5 \\ -0.5&0.5\end{bmatrix} \]如果以 \(A\) 的特征向量 \(\boldsymbol{x_1}=(1, -1)\) 和 \(\boldsymbol{x_2}=(1, 1)\) 为基的话：\(\boldsymbol{x_1}\) 与直线共线，投影后还是其自身；\(\boldsymbol{x_2}\) 垂直于直线，投影后为零向量，所以在这组基下的变换矩阵为
\[\Lambda = \begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&0\end{bmatrix} \]如果选择另外一组基 \(\boldsymbol{v_1}=\boldsymbol{w_1}=(2, 0)\) 和 \(\boldsymbol{v_2}=\boldsymbol{w_2}=(1, 1)\)。
我们可以一列一列找到变换矩阵，\(\boldsymbol{v_1}=(2, 0)\)，投影后坐标为 \((1, -1)=\boldsymbol{w_1}-\boldsymbol{w_2}\)；\(\boldsymbol{v_2}=(1, 1)\)，投影后为零向量，所以在这组基下的变换矩阵为
\[B = \begin{bmatrix} 1&0 \\ -1&0\end{bmatrix} \]另外我们也可以利用基变换矩阵，由 \(V,W\to I\) 标准基的基变换矩阵 \(M\) 为
\[M = \begin{bmatrix} 2&1 \\ 0&1\end{bmatrix} \]接下来，我们先将输入变换到标准基下，再应用标准基下的变换矩阵 \(A\)，最后再将输出变换到 \(W\) 空间下，这样得到的以 \(V,W\) 为基的变换矩阵就为
\[B=M^{-1}AM=\begin{bmatrix} 1&0 \\ -1&0\end{bmatrix} \]这和上面的结果是一样的，还说明了 \(B\) 和 \(A\) 是相似的，对于任意的非标准基底，我们都可以采用类似的方式来求取变换矩阵。
2. SVD
现在，输入基 \(\boldsymbol{v_1},\cdots,\boldsymbol{v_n}\) 和输出基 \(\boldsymbol{u_1},\cdots,\boldsymbol{u_m}\) 不一样，事实上，输入空间 \(R^n\) 可以和输出空间 \(R^m\) 不一样。同样，最好的矩阵依然是对角矩阵，只不过大小是 \(m×n\) 的。为了到达对角矩阵 \(\Sigma\)，每个输入向量 \(\boldsymbol{v_j}\) 必须被变换到输出向量 \(\boldsymbol{u_j}\) 的一个倍数，而这个倍数就是对角线上的奇异值。
要说明的是，\(A\) 和 \(\Sigma\) 代表的是相同的变换，矩阵 \(A\) 利用 \(R^n\) 和 \(R^m\) 中的标准基，而 \(\Sigma\) 则以 \(\boldsymbol v\) 和 \(\boldsymbol u\) 分别作为输入基和输出基，正交矩阵 \(V\) 和 \(U\) 则代表基变换矩阵。
3. 极分解
每个复数都可以表示成极坐标的形式 \(re^{i\theta}\)，将这些数想象成一个 \(1×1\) 的矩阵，那么 \(r\geqslant 0\) 可以看作是是一个半正定矩阵 \(H\)，\(e^{i\theta}\) 可以看作是一个正交矩阵 \(Q\)，因为 \(|e^{i\theta}| = |cos\theta+isin\theta|=1\)。极分解将上述的分解扩展到矩阵：正交乘以正定，\(A=QH\)。
每个实的方阵都可以分解成 \(A=QH\) 的形式，其中 \(Q\) 是一个正交矩阵，\(H\) 是一个对称的半正定矩阵。如果 \(A\) 可逆，那么 \(H\) 是正定的。
- 证明
第一项两个正交矩阵的乘积还是正交矩阵，第二项是半正定的因为其特征值位于 \(\Sigma\) 的对角线上，都大于等于零。
\[H^2=V\Sigma V^TV\Sigma V^T=V\Sigma^2 V^T=A^TA \]\(H\) 是 \(A^TA\) 的对称正定平方根。同样地，我们有：
\[U^TU = I \to A=U\Sigma V^T=U\Sigma U^TUV^T = (U\Sigma U^T)UV^T=KQ \]4. 伪逆
矩阵 \(A\) 乘以行空间中的 \(\boldsymbol{v_i}\) 得到列空间中的 \(\sigma_i\boldsymbol{u_i}\)，\(A^{-1}\) 应该做相反的操作。如果有 \(A\boldsymbol{v}=\sigma\boldsymbol{u}\)，那么 \(A^{-1}\boldsymbol{u}={\boldsymbol{v}}/{\sigma}\)，如果逆矩阵存在的话。
伪逆 \(A^+\) 是一个 \(n×m\) 的矩阵。可以看到，如果 \(A^{-1}\) 存在的话，那么伪逆也就等于逆矩阵，在这种情况下 \(n=m=r\)，\(A^+=A^{-1}=(U\Sigma V^T)^{-1}=V\Sigma^{-1}U^T\)。只有当 \(r<m\) 或者 \(r<n\) 时我们才需要伪逆，伪逆有着相同的秩 \(r\)。
前 \(r\) 个列空间中的向量被送回到了行空间，其它的向量位于左零空间则被送回到了零向量。注意到 \(\Sigma^+\Sigma\) 是我们能得到的最接近于恒等矩阵的矩阵，它是一个投影矩阵，部分是 \(I\) 部分是 \(0\)。
假设 \(r=n<m\)，那么 \(A^TA\) 是可逆的，
\[\underbrace{(A^TA)^{-1}A^T}_{\text{左逆 $A^+$}}A=I \to A(A^TA)^{-1}A^T=P=投影到列空间的投影矩阵 \]假设 \(r=m<n\)，那么 \(AA^T\) 是可逆的，
\[A\underbrace{A^T(AA^T)^{-1}}_{\text{右逆 $A^+$}}=I \to A^T(AA^T)^{-1}A=P=投影到行空间的投影矩阵 \]之前我们假设 \(A^TA\) 是可逆的，那么当 \(Ax=b\) 不可解的时候，我们求助于方程 \(A^TA\hat x=A^Tb\) 得到最小二乘解。现在矩阵 \(A\) 可能具有相关的列，即 \(r<n\)，上述方程可能有很多解，其中一个解来自于伪逆 \(x^+=A^+b\)。
我们可以验证，\(A^TAA^+b=A^Tb\)，因为 \(b\) 可以分解为两部分， \(p=AA^+b\) 是其投影到列空间的分量，\(e=b-AA^+b\) 是左零空间的分量，乘以 \(A^T\) 后为零向量。
任意零空间的向量可以被加到 \(x^+\) 上得到其它的解 \(\hat x\)，但 \(x^+\) 是其中最短的一个。
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