Ch1.质点振动学
| \(F_{R}\) | 阻力 |
| \(R_{m}\) | 阻尼系数或力阻 |
| \(\delta\) | 衰减系数 |
| \(\tau\) | 衰减模量 |
1.3质点的衰减振动
1.3.1衰减振动方程
讨论小振动，认为阻力与速度呈线性关系：\(F_{R}=-R_{m}\frac{d\xi}{dt}\),其中\(R_{m}\)称阻尼系数，也称力阻
原振动方程：\(M_{m}\frac{d^{2}\xi}{dt^{2}}+K_{m}\xi=0\)
考虑阻力（总是与系统运动方向相反）：\(M_{m}\frac{d^{2}\xi}{dt^{2}}+R_{m}\frac{d\xi}{dt}+K_{m}\xi=0\)
或改写为\(\frac{d^{2}\xi}{dt^{2}}+2\delta\frac{d\xi}{dt}+\omega_{0}^{2}\xi=0\)，其中\(\delta=\frac{R_{m}}{2M_{m}}\)为引入的一个新参量，称为衰减系数
上式为质点的衰减振动方程
1.3.2衰减振动的一般规律
衰减振动方程———二阶齐次常微分方程
特征方程：\(r^{2}+2\delta r+\omega_{0}^{2}=0\)
解得：\(r_{1,2}=-\delta \pm\sqrt{\delta^{2}-\omega_{0}^{2}}\)???
设解为复指数：\(\xi=e^{j\gamma t}\)，其中\(\gamma\)为特定常数，
将此解代入方程可得：\((-\gamma^{2}+2j\gamma\delta+\omega_{0}^{2})e^{j\gamma t}=0\)
若上式对任意时间t都成立，则必须满足\(\gamma^{2}-2j\gamma\delta-\omega_{0}^{2}=0\)
解得：\(\gamma=\delta j \pm \sqrt{-\delta^{2}+\omega_{0}^{2}}=\delta j \pm \omega_{0}^{'}\)，其中\(\omega_{0}^{'}=\sqrt{-\delta^{2}+\omega_{0}^{2}}\)
这里需要讨论下\(\sqrt{\omega_{0}^{2}-\delta^{2}}\)
如果\(\delta>\omega_{0}\)则\(\gamma=j(\delta \pm \sqrt{-\delta^{2}+\omega_{0}^{2}})\)
\(\xi=e^{j\gamma t}=e^{-(\delta \pm \sqrt{-\delta^{2}+\omega_{0}^{2}})t}\)为非振动状态
假定\(\delta<\omega_{0}\)
\(\xi=(e^{j\omega_{0}^{'} t}+e^{-j\omega_{0}^{'} t})e^{-\delta t}\)
实数形式：\(\xi=cos\omega_{0}^{'}t·e^{-\delta t}\)
考虑由初始条件确定的两个实常数\(\xi_{o},\varphi_{0}\),这样位移就表示成\(\xi=\xi_{o}e^{-\delta t}cos(\omega_{0}^{'}t-\varphi_{0})=A(t)cos(\omega_{0}^{'}t-\varphi_{0})\)
其中\(A(t)=\xi_{o}e^{-\delta t}\)近似表示为衰减振动的振幅，衰减系数越大，振幅衰减得越快
分析
- 用振幅衰减到初始值的\(\frac{1}{e}\)倍的时间来度量衰减的快慢，这一时间称为衰减模量：\(\tau=\frac{1}{\delta}=\frac{2M_{m}}{R_{m}}\)
- 固有圆频率变为：\(\omega_{0}^{'}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\delta^{2}}=\omega_{0}\sqrt{1-\frac{\delta^{2}}{\omega_{0}^{'}}}=\omega_{0}(1-\frac{1}{2}\frac{\delta^{2}}{\omega_{0}^{'}}+...)\)
当\(\delta^{2}\ll \omega^{2}\)时，可近似得\(\omega_{0}^{'}≈\omega_{0}\) - 振幅的衰减是以几何级数规律进行的：\(i\)代表振动的序数，第一次与第\(i\)次的振幅比为\(\eta_{i}=\frac{A_{1}}{A_{i}}=(e^{\delta T})^{i-1}\)
- 固有频率变化甚微，但振幅的衰减却可能进行得很快
1.3.3衰减振动的能量
\(E=\frac{1}{2}K_{m}\xi^{2}+\frac{1}{2}M_{m}v^{2}\)
将\(\xi=A(t)cos(\omega_{0}^{'}t-\varphi_{0})\)代入得：
取一个周期的平均值
质点振动系统的平均能量将近似地随时间做指数规律衰减
补充：二阶常系数齐次线性方程解法
\(y^{''}+py^{'}+qy=0\)
特征方程：\(r^{2}+pr+q=0\)
| ---特征根的情况--- | -----------通解的表达式------------ |
|---|---|
| 实根\(r_{1}\neq r_{2}\) | \(y=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}\) |
| 实根\(r_{1} = r_{2}\) | \(y=(C_{1}+C_{2}x)e^{rx}\) |
| 负根\(r_{1,2}=\alpha\pm\beta\) | \(y=(C_{1}cos\beta x+C_{2}sin\beta x)e^{\alpha x}\) |
补充：麦克劳林级数
| \((1+x)^{\alpha}\) | \(1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{n!}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^{2}+...\) | \(-1<x<1\) |