Ch2.弹性体振动学
Ch1.集中参数系统--质量集中在一点，描述系统的一些参数（质量、弹性系数、力阻）与空间位置无关，弹簧伸长压缩均匀
Ch2.分布参数系统（弹性体）--物体的线度同其振动的传播波长可以相比拟，振动系统的质量在空间有一连续分布，且某一部分质量包含弹性、阻尼性质
引入空间位置变量\(\xi , \eta, \zeta\)对应于x,y,z方向的位移
依旧限于讨论小振动
| \(\rho\) | 弦的密度 |
| \(S\) | 横截面积 |
| \(\delta=\rho S\) | 线密度 |
| \(c^{2}=\frac{T}{\delta}\) | （速度与质量成反比） |
2.1弦的振动
理想的振动弦：用一定方式把具有一定质量、有一定长度、性质柔软的细丝或细绳张紧，并以张力作为弹性恢复力进行振动的弹性体。
横振动（弦的各部分振动与弦长垂直，而振动的传播是沿着弦长方向的）：设有一长l，两端固定并被张紧的一根细绳，它的横截面积和密度都为均匀，在静止时，弦处于水平平衡位置，维持其平衡的力就是张力。假定在某瞬间突然有外力拨动它一下，于是弦的各部分就在张力的作用下开始进行与弦长垂直方向的往返运动。因为弦是一个整体，振动要进行传播，最后在弦上形成一定的振动形状，即产生一定的振动方式。
2.1.1弦的振动方程
取弦的一元段
讨论小振动，即假设各元段的垂直位移\(\eta\)很小，也就是说弦上的张力是均匀的
即张力：\(T\)（常数）
作用在x点的垂直分量：\(F_{x}=(Tsin\theta)_{x}\)
在\(x+dx\)点的垂直分量：\(F_{x+dx}=(Tsin\theta)_{x+dx}\)
作用在该元段上的垂直方向的合力：\(dF_{x}=(Tsin\theta)_{x+dx}-(Tsin\theta)_{x}\)
小振动\(\theta->0\)，于是\(sin\theta = tan\theta = \frac{\partial \eta}{\partial x}(斜率)\)
\(dF_{x}=T[(\frac{\partial \eta}{\partial x})|_{x+dx}-(\frac{\partial \eta}{\partial x})|_{x}]=T(\frac{\partial^{2} \eta}{\partial x^{2}})dx\)
依据牛顿第二定律\(T\frac{\partial^{2} \eta}{\partial x^{2}}dx=(\delta dx)\ddot{\xi}\)
设\(c^{2}=\frac{T}{\delta}\)
得弦的振动方程：\(\frac{\partial^{2} \eta}{\partial x^{2}}=\frac{1}{c^{2}}\ddot{\xi}\)
2.1.2弦振动方程的一般解
假设方程的解具有形式：\(\eta(t,x)=f_{1}(ct-x)+f_{2}(ct+x)\)
这里\(f_{1}(ct-x)\)与\(f_{2}(ct+x)\)分别代表包含宗量(自变量)\((ct-x)\)或\((ct+x)\)的两个任意函数。这个形式代入方程是符合的。
我们又知道\(c=\sqrt{\frac{T}{\delta}}\)所以c是与弦的固有力学参量有关的常数
\(f_{1}(ct-x)\)物理意义：
我们首先在\(t=0\)时刻观察位置\(x=x_{0}\)，经过\(t=t_{1}\)时间，\(f_{1}(-x_{0})=\eta_{1}=f_{1}(ct_{1}-x_{1})\)，是我们的观察点移到了\(x=x_{1}\)，可以认为坐标轴以速度c向正x方向移动，还记得相对论里的坐标变换吗？\(-x_{0}=ct_{1}-x_{1}\),由此得到\(c=\frac{x_{1}-x_{0}}{t}\)
\(f_{1}(ct-x)\)被称为一种波函数，它代表了一种以传播速度c向正x方向传播的波动过程
振动周期为\(T\)，波长：\(\lambda = cT\)
同理\(f_{2}(ct+x)\)代表是一种以传播速度c向负x方向传播的波动过程
考虑弦的两端固定（有界弦）：一般解中，出现的两个不同方向传播的波函数，在端点处就会反射回来，形成驻波。推导如下：
弦的边界条件：
\(
\left.\begin{array}{l}
\eta(x=0)=0 \\
\eta(x=l)=0
\end{array}\right\}\)
代入\(\eta(t,x)=f_{1}(ct-x)+f_{2}(ct+x)\)得：
\(\left.\begin{array}{l}
f_{1}(ct)=-f_{2}(ct)-->f_{1}(ct+l)=-f_{2}(ct+l) \\
f_{1}(ct-l)=-f_{2}(ct+l)
\end{array}\right\}\)
于是\(f_{1}(ct-l)=f_{1}(ct+l)\)
引入新变量\(z=ct-l\)可改写为\(f_{1}(z)=f_{1}(z+2l)\)
表面函数\(f1\)是以\(2l\)为周期的周期函数
2.1.3*振动的一般规律——弦振动的驻波解
上面只指出了驻波形式，还没有讨论具体的振动方式，下面提出另一种方法--分离变量法（驻波法）
设方程解的形式：\(\eta (t,x)=X(x)T(t)\)
代入\(\frac{\partial^{2} \eta}{\partial x^{2}}=\frac{1}{c^{2}}\ddot{\xi}\)得：\(\frac{d^{2}X(x)}{dx^{2}}T(t)=\frac{1}{c^{2}}X(x)\frac{d^{2}T(t)}{dt^{2}}\)
即\(\frac{c^{2}}{X(x)}\frac{d^{2}X(x)}{dx^{2}}=\frac{1}{T(t)}\frac{d^{2}T(t)}{dt^{2}}=-\mu^{2}\)，令\(\mu^{2}>0\)称\(\mu\)为本征值，也就是将来的\(\omega_{n}\)
于是可得两个独立的方程：
\(\begin{gathered}
\frac{\mathrm{d}^{2} T(t)}{\mathrm{d} t^{2}}+\mu^{2} T(t)=0 \\
\frac{\mathrm{d}^{2} X(x)}{\mathrm{d} x^{2}}+\frac{\mu^{2}}{c^{2}} X(x)=0
\end{gathered}\)
形式同质点的*振动方程
于是直接写出方程的解：
\(
T(t)=A_{t}cos\mu t + B_{t}sin\mu t\\
X(x)=A_{x}cos\frac{\mu}{c} x + B_{x}sin\frac{\mu}{c} x\\
\eta (t,x)=X(x)T(t)=(A_{t}cos\mu t + B_{t}sin\mu t)(A_{x}cos\frac{\mu}{c} x + B_{x}sin\frac{\mu}{c} x)=(Acos\frac{\mu}{c} x + Bsin\frac{\mu}{c} x)cos(\mu t - \varphi)
\)
\(A,B,\varphi\)是待定常数
弦两端固定边界条件
\(
\left.\begin{array}{l}
\eta(x=0)=0 ->A=0\\
\eta(x=l)=0->Bsin\frac{\mu}{c} l=0->sin\frac{\mu}{c} l=0->\frac{\mu}{c} l=n\pi(n=1,2,3...)
\end{array}\right\}\)
用一新符号\(\omega_{n}\)来代替\(\mu\)，有\(\omega_{n}=\frac{n\pi c}{l}\)（振动的圆频率）
\(\omega_{n}=2\pi f_{n}\)，有\(f_{n}=\frac{n c}{2l}=\frac{n }{2l}\sqrt{\frac{T}{\delta}}\)（振动频率-同弦本身的固有力学参量有关-固有频率-单振子的固有频率只有一个，而弦有无限多个（n个）-简正频率）
弦的基频：\(n=1,f_{1}=\frac{c}{2l}\)也称第一谐频
泛频：\(n>1\)例如：弦的第一泛频\(n=2,f_{2}=\frac{c}{l}\)也称第二谐频
于是这一系列简正频率\(f_{n}\)对应的振动位移：\(\eta_{n}=Bsin\frac{n \pi}{l} xcos(2\pi f_{n}t-\varphi_{n})\)也称为弦的第n次振动方式，或简正振动方式
波节：振幅等于0的位置，令\(sin\frac{n\pi}{l}x=0\)，得\(\frac{n\pi}{l}x_{mn}=m\pi (m=0,1,2,...,n)\),得\(x_{mn}=\frac{m}{n}l\)。可以看出n次振动有n+1个波节
波腹：振幅极大的位置，\(sin\frac{n\pi}{l}x=±1\)，得\(\frac{n\pi}{l}x_{mn}=（m+\frac{1}{2}）\pi (m=0,1,2,...,n-1)\),得\(x_{mn}=\frac{m}{n}l\)。可以看出n次振动有n个波腹
驻波方式：对于一定的振动方式，波节和波腹在弦上的位置是固定的
弦的总位移：\(\eta=\sum_{n=1}^{\infty}\eta_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}B_{n}sin\frac{n \pi}{l} xcos(2\pi f_{n}t-\varphi_{n})=\sum_{n=1}^{\infty}B_{n}sin\frac{\omega_{n}}{c} xcos(2\pi f_{n}t-\varphi_{n})=\sum_{n=1}^{\infty}B_{n}sink_{n} xcos(2\pi f_{n}t-\varphi_{n})\)
n次振动方式的波数：\(k_{n}=\frac{\omega_{n}}{c}=\frac{2\pi}{\lambda_{n}}=\frac{n\pi}{l}\)
\(\frac{n\lambda_{n}}{2}\):弦振动的n阶模态的波长的\(\frac{n}{2}\)倍等于弦长
现来考虑初始条件对弦振动的影响
\(\left\{\begin{array}{l}
\eta_{(t=0)}=\eta_{0}(x) \\
\left(\frac{\partial \eta}{\partial t}\right)_{t=0}=v_{0}(x)
\end{array}\right.\)
为了方便处理：\(\eta = \sum_{n=1}^{\infty}B_{n}sink_{n} xcos(2\pi f_{n}t-\varphi_{n})=\sum_{n=1}^{\infty}sink_{n} x(C_{n}cos\omega_{n}t+D_{n}sin\omega_{n}t)\)其中\(C_{n}=B_{n}cos\varphi_{n},D_{n}=B_{n}sin\varphi_{n}\)
代入初始条件可得
\(\left.\begin{array}{l}
\eta_{0}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} C_{n} \sin k_{n} x \\
v_{0}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} D_{n} \omega_{n} \sin k_{n} x
\end{array}\right\}\)
对上面两式等号两边分别乘上\(sink_{n}xdx\)，并对它从0到l积分，再利用正弦函数的正交性，就可求得
\(\left.\begin{array}{l}
C_{n}=\frac{2}{l} \int_{0}^{l} \eta_{0}(x) \sin k_{n} x \mathrm{~d} x \\
D_{n}=\frac{2}{l \omega_{n}} \int_{0}^{l} v_{0}(x) \sin k_{n} x \mathrm{~d} x
\end{array}\right\}\)
2.1.4弦振动的能量
2.2棒的振动（纵）
理想的棒：认为是坚硬的，其恢复力主要是由自身的劲度（弹性）所产生。截面积均匀的细棒，同一截面上各点的运动可以看作均匀的，可以用中心坐标代替棒的纵向位置。