Ch1.质点振动学
1.4质点的强迫振动
1.4.1强迫振动方程
强迫力\(F_{F}=F_{a}cos\omega t\)
为了采用复函数求解，我们把外力改成复数形式\(F_{F}=F_{a}(cos\omega t + jsin\omega t)=F_{a}e^{j\omega t}\)
质点的强迫振动方程\(\ddot{\xi}+2\delta \dot{\xi}+\omega_{0}^{'}\xi=He^{j\omega t}\)
其中\(H=\frac{F_{a}}{M_{m}}\)为作用在单位质量上的外力幅值
1.4.2强迫振动的一般规律
质点的强迫振动方程一般解和衰减振动方程一样，下面讨论如何求特解
设取其解的形式为：\(\xi_{1}=\xi_{F}e^{j\omega t}\)，其中\(\xi_{F}\)是待定常数
这样，一般解可表示为\(\xi=\xi_{0}e^{-\delta t}cos(\omega_{0}^{'}t-\varphi)+\xi_{F}e^{j\omega t}\)
先求出\(\dot{\xi_{1}}=j\omega\xi_{F}e^{j\omega t}\)，\(\ddot{\xi_{1}}=-\omega^{2}\xi_{F}e^{j\omega t}\)
发现\(\xi_{1}=\frac{\dot{\xi_{1}}}{j\omega},\ddot{\xi_{1}}=-\omega^{2}\xi_{1}=j\omega\dot{\xi_{1}}\)这样先求出\(\dot{\xi}\)较为方便
将上式代入原始方程：\(M_{m}\ddot{\xi_{1}}+R_{m}\dot{\xi_{1}}+K_{m}\xi_{1}=F_{a}e^{j\omega t}\)
得到：\(\dot{\xi_{1}}(M_{m}j\omega+R_{m}+\frac{K_{m}}{j\omega})=F_{a}e^{j\omega t}\)
即\(\dot{\xi_{1}}=\frac{F_{a}e^{j\omega t}}{R_{m}+j(M_{m}\omega-\frac{K_{m}}{\omega})}=\frac{F_{a}e^{j\omega t}}{R_{m}+jX_{m}}=\frac{F_{a}e^{j\omega t}}{Z_{m}}\)
\(\xi_{F}=\frac{F_{a}}{j\omega Z_{m}}=\frac{-jF_{a}}{\omega Z_{m}}=\frac{F_{a}}{\omega Z_{m}}e^{-j\frac{\pi}{2}}=\frac{F_{a}}
{\omega|Z_{m}|}e^{-j(\theta_{0}+\frac{\pi}{2})}\)
再回到实数形式：\(\xi_{a}=|\xi_{F}|=\frac{F_{a}}
{\omega|Z_{m}|},\theta=\theta_{0}+\frac{\pi}{2}\)，其中\(\theta_{0}=arc tan\frac{X_{m}}{R_{m}}\)
实部形式的解为：\(\xi=\xi_{0}e^{-\delta t}cos(\omega_{0}^{'}t-\varphi)+\xi_{a}cos(\omega t -\theta)\)
解的第一项称为瞬态解，它描述了*衰减振动，此项与系统的起振条件有关
解的第二项称为稳态解，它描述了外力作用下，系统进行强制性振动的状态，称稳态振动
由上式类比电力系统，有以下命名
| \(Z_{m}=R_{m}+jX_{m}\) | 系统的力阻抗，单位Ns/m旧称力欧姆 |
| \(\sqrt{R_{m}^{2}+(M_{m}\omega-\frac{K_{m}}{\omega})^{2}}\) | 力阻抗的模 |
| \(\theta_{0}=arc tan\frac{X_{m}}{R_{m}}\) | 力阻抗的辐角 |
| \(R_{m}\) | 力阻（速度与力同相，能量耗散） |
| \(X_{m}\) | 力抗（速度与力差90°，这一项可以为0（共振）） |
| \(\omega M_{m}\) | 质量抗 |
| \(\frac{K_{m}}{\omega}\) | 弹性抗或力顺抗 |
1.4.3质点的稳态振动
上面提到的稳态解，描述的是一种等幅简谐振动\(\xi = \xi_{a}cos(\omega t -\theta)\)
这里讨论的本质上是频响问题，知晓\(2\pi f=\omega\)
先看位移振幅\(\xi_{a}\)
\(\xi_{a}=|\xi_{F}|=\frac{F_{a}}{\omega|Z_{m}|}=\frac{F_{a}}{\omega \sqrt{R_{m}^{2}+(M_{m}\omega-\frac{K_{m}}{\omega})^{2}}}\)
引入
| \(Q_{m}=\frac{\omega_{0}M_{m}}{R_{m}}\) | 力学品质因素 |
| \(\xi_{a0}=\frac{F_{a}}{K_{m}}\) | 静态位移振幅（\(\omega=0\)） |
| \(z=\frac{\omega}{\omega_{0}}=\frac{f_{0}}{f}\) | 外力频率与固有频率的比值，即归一化频率 |
| \(A=\frac{\xi_{a}}{\xi_{a0}}=\frac{Q_{m}}{\sqrt{z^{2}+(z^{2}-1)^{2}Q_{m}^{2}}}\) |
1.4.4强迫振动的能量
1.4.5振动控制：电声器件的工作原理
1.质量控制区
2.弹性控制区
3.力阻控制区
欧拉公式
\(e^{ix}=cosx+isinx\)