Des

给出一个配对的括号序列（如"(())()"、"()"等， ")()"、"(()"是不符合要求的 ），对该序列按以下方法进行染色：

1.一个括号可以染红色、蓝色或不染色

2.一对匹配的括号需要且只能将其中一个染色

3.相邻两个括号颜色不能相同（但可以都不染色）

求符合条件的染色方案数（对1000000007取模）

\(\texttt{Data Range:}\)

2<=序列长度<=700

Sol

跟今年 [[【题解】P7914 括号序列（CSP-S2021）|CSP-S T2]] 如出一辙。

一个区间有两种转移方式，一是 (())，二是 ()...()。对于第二种方式直接转移会算重。

所以要记一个 \(g_{i,j}\) 数组表示上一次转移是 (()) 的括号序列的数列。然后在拼接 \(f_{i,j}\) 时，钦定左边是 \(g\)，右边是 \(f\) 即可。原理相当于钦定从 \(i\) 匹配的右括号处转移。

注意需要记录首尾颜色，但这样会导致复杂度变成 \(O(350^3\times 81)\)，需要尽可能的在代码中判断无效状态，并 continue 掉。

另一种方法是用记忆化搜索，不进入无效状态即可。

My code

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 705, MD = 1e9 + 7;
inline int add(int a, int b) { return a + b >= MD ? a + b - MD : a + b; }
inline int mul(int a, int b) { return (long long)a * b % MD; }
inline void Add(int &a, int b) { a = add(a, b); }
inline void Mul(int &a, int b) { a = mul(a, b); }
int n, f[N][N][3][3], g[N][N][3][3], ok[N][N];
char s[N];

int main() {
	scanf("%s", s + 1), n = strlen(s + 1);
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		int cnt = 0;
		for(int j = i; j <= n; j++) {
			if(s[j] == '(') ++cnt;
			else --cnt;
			if(cnt == 0) ok[i][j] = true;
		}
	}
	for(int i = 1; i < n; i++)
		if(s[i] == '(' && s[i + 1] == ')')
			for(int k = 1; k <= 2; k++)
				f[i][i + 1][0][k] = f[i][i + 1][k][0] = 1,
				g[i][i + 1][0][k] = g[i][i + 1][k][0] = 1;
	for(int len = 4; len <= n; len++) {
		for(int i = 1; i + len - 1 <= n; i++) {
			int j = i + len - 1;
			if(s[i] != '(' || s[j] != ')' || !ok[i][j]) continue;
			if(s[i + 1] == '(' && s[j - 1] == ')' && ok[i + 1][j - 1])
				for(int k = 1; k <= 2; k++)
					for(int q = 0; q < 3; q++)
						for(int h = 0; h < 3; h++) {
							if(h == k) continue;
							Add(f[i][j][0][k], f[i + 1][j - 1][q][h]);
							Add(g[i][j][0][k], f[i + 1][j - 1][q][h]);
							Add(f[i][j][k][0], f[i + 1][j - 1][h][q]);
							Add(g[i][j][k][0], f[i + 1][j - 1][h][q]);
						}
			for(int k = i + 1; k < j - 1; k++) {
				if(s[k] != ')' || s[k + 1] != '(' || !ok[i][k] || !ok[k + 1][j]) continue;
				for(int h = 0; h < 3; h++) for(int q = 0; q < 3; q++) {
					if(!g[i][k][h][q]) continue;
					for(int p = 0; p < 3; p++) for(int r = 0; r < 3; r++) {
						if((q == p && q != 0) || !f[k + 1][j][p][r]) continue;
						Add(f[i][j][h][r], mul(g[i][k][h][q], f[k + 1][j][p][r]));
					}	
				}
			}
		}
	}
	int ans = 0;
	for(int i = 0; i < 3; i++)
		for(int j = 0; j < 3; j++)
			Add(ans, f[1][n][i][j]);
	cout << ans << '\n';

	return 0;
}