第四章 向量代数与空间解析几何
第一节 向量及向量代数
定义1：
\[\begin{align}
&(1)向量:\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}=\{x,y,z\}\\
&(2)向量的模: |\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\
&(3)单位向量: |\vec a|=1,\vec a=(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}})=(\cos \alpha,\cos\beta,\cos \gamma)\\
&(4)向量\vec{a}的方向余弦(方向数):
方向角\alpha,\beta,\gamma\in[0,\pi]\\
&\vec{a}=(\cos \alpha,\cos\beta,\cos \gamma)\\
\end{align}
\]
定理1：
\[\begin{align}
&设A(a_1,a_2,a_3),B(b_1,b_2,b_3)\in R^3,则\vec{AB}=\{b_1,b_2,b_3\}-\{a_1,a_2,a_3\}=\{b_1-a_1,b_2-a_2,b_3-a_3\}\\
\end{align}
\]
定义2
\[\begin{align}
&(1)线性运算:\vec{a}+\vec{b},\vec{a}-\vec{b}\\
&\lambda\vec{a}=\begin{cases}&|\lambda\vec a|\vec a,\lambda>0,即与\vec a同向\\&\vec{0},\lambda=0,即为零向量\\&-|\lambda\vec a|\vec a,\lambda<0,即与\vec a反向\\\end{cases}
\end{align}
\]
\[\begin{align}
&(2)数积(内积,点积):数积\vec{a}\cdot\vec{b}是一个数\\
&\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec a||\vec b|\cos \theta\\
&注解：判定垂直\\
&(3)矢积(外积,叉积):矢积\vec{a}*\vec{b}是一个向量,满足:\\
&[1]|\vec a*\vec b|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta\\
&[2]\vec a*\vec b\perp\vec{a}和\vec{b},\vec{a},\vec{b}和\vec a*\vec b的方向满足右手法则\\
&注解：\\
&1)判断平行\\
&2)|\vec{a}*\vec{b}|的几何意义：\\
\end{align}
\]
\[\begin{align}
&(4)混合积:[\vec a\vec b \vec c]\overset{\Delta}{=}(\vec a *\vec b)\cdot \vec c=\vec c\cdot(\vec a *\vec b)=(\vec b *\vec c)\cdot \vec a\\
&注解:[\vec a\vec b \vec c]的几何意义是体积\\
\end{align}
\]
