空间定义： 向量空间是由向量组成的集合，有两个基本的运算，向量加法，以及标量乘法，有以下公理：

1、u + v = v + u

2、 u + (v +m ) = (u + v) +m

u ,m , v 均为向量

 

3、 c(v + m) = cv + cm

4、(c + d) * m = cm + dm

5、c*(d*v) = (c* d) * v

其中，c ,d 为标量，v , m 为向量

 

子空间的定义： 向量空间  V 的子空间 H 是向量空间 V 的一个子集，并且满足三条性质：

1、V 中的零向量在 空间 H 中

2、H 对向量加法封闭，即 对于 H 中的任意向量， u,v , u + v 仍然在 H 中

3、H 标量乘法封闭，即对于 H  中的任意向量, v 以及任意标量 c , 向量 cv 仍然在 空间 H 中

 

例子： 向量空间 R^2, 是否是向量空间 R^3 的一个子空间？

不是， 因为，R^2中的向量只有两个元素，而R^3中的向量有三个元素，不满足定义1，即  R^3 的零向量 [0,0,0], 不在 R^2 中。 但是  集合 H = { [s,t,0] : s,t 是实数} 则是  R^3  的一个子空间， 因为 满足 定义中的三个条件。