一、简介

1974年，法国工程师J.Morlet首先提出小波变换的概念，1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来。小波分析的应用领域十分广泛，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。在图像处理方面的图像压缩、分类、识别与诊断，去噪声等。本章将着重阐述小波在图像中的应用分析。
1 小波变换原理
小波分析是一个比较难的分支，用户采用小波变换，可以实现图像压缩，振动信号的分解与重构等，因此在实际工程上应用较广泛。小波分析与Fourier变换相比，小波变换是空间域和频率域的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。小波变换通过伸缩和平移等基本运算，实现对信号的多尺度分解与重构，从而很大程度上解决了Fourier变换带来的很多难题。
小波分析作一个新的数学分支，它是泛函分析、Fourier分析、数值分析的完美结晶；小波分析也是一种“时间—尺度”分析和多分辨分析的新技术，它在信号分析、语音合成、图像压缩与识别、大气与海洋波分析等方面的研究，都有广泛的应用。
（1）小波分析用于信号与图像压缩。小波压缩的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图像的特征不变，且在传递中能够抗干扰。基于小波分析的压缩方法很多，具体有小波压缩，小波包压缩，小波变换向量压缩等。
（2）小波也可以用于信号的滤波去噪、信号的时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。
（3）小波分析在工程技术等方面的应用概括的包括计算机视觉、曲线设计、湍流、远程宇宙的研究与生物医学方面。
2 多尺度分析

3 图像的分解和量化

4 图像压缩编码

5 图像编码评价

二、源代码

clc; clear all; close all;
filename = fullfile(pwd, 'images', 'cameraman.tif');
x = imread(filename);%读取文件图片
num = 2;
[cf_vec, dim_vec] = wavedec_process(x, num, 'haar');%调用函数wavedec_process
th = 10;
y = waverec_process(cf_vec, dim_vec, 'haar', th);%调用函数waverec_process
output_img(x, y, filename, th, 'png');%输出图片
p = PSNR(x,y);%信噪比
fprintf('\n压缩前后图像的PSNR值为%.2f\n', p);
function [ya, yd] = dwt_process(x, lf, hf, num)
x = double(x);
ya = x;      
yd = [];
for i = 1 : num
    yli = conv(ya,lf);  
    yai = downsample_prcoess(yli);   
    yhi = conv(ya, hf);   
    ydi = downsample_prcoess(yhi);  
 function y = idwt_process(ya, yd, lf, hf)
alen = length(ya);        
dlen = length(yd);

while dlen - alen >= 0        
    yai = upsample_prcoess(ya);          
    yai = conv(yai, lf);      
    ydi = yd(dlen-alen+1:dlen);    
    ydi = upsample_prcoess(ydi);   
    ydi = conv(ydi, hf);      
    ya = yai + ydi;             
    yd = yd(1:dlen-alen);       
    function [cf_vec, dim_vec] = wavedec_process(x, num, wave_name)

if ndims(x) == 3
    x = rgb2gray(x);
end
[lf, hf] = wfilters(wave_name, 'd');
o = x;
x = double(x);
cf_vec = [];
dim_vec = size(x);
for i = 1 : num
    [ya, yv, yh, yd] = dwt2_process(x, lf, hf);
    tmp = {yv; yh; yd};
    dim_vec = [size(yv); dim_vec];
    cf_vec=[tmp; cf_vec];
    x = ya;
end
end
function S=PSNR(s,t)
[m, n, ~]=size(s);
s = im2uint8(mat2gray(s));
t = im2uint8(mat2gray(t));
s = double(s);
t = double(t);
sd = 0;
mi = m*n*max(max(s.^2));
for u = 1:m
    for v = 1:n
        sd = sd+(s(u,v)-t(u,v))^2;
    end
end
if sd == 0
    sd = 1;
end

•