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题目大意:
给定一个
n
×
n
n\times n
n×n 的矩阵,每个元素有
0
/
1
0/1
0/1 两种可能 ,可以交换两行或两列,问是否可以通过若干次交换使得矩阵的主对角线上元素都是
1
1
1
题目分析:
可以将行和列抽象成二分图的两个集合,每行每列都是对应集合的一个元素,然后认识
a
[
i
]
[
j
]
=
1
a[i][j]=1
a[i][j]=1 就是
i
,
j
i,j
i,j 有一条边
仔细分析后我们会发现,交换行只是相当于给行重命名了,并不改变原图的形状。即我们可以在保持当前二分图结构不变的情况下,把一侧点的编号进行重命名,这与交换是等价的。
随意要想让第一行与第一列匹配,第二行与第二列匹配,只需要让原图的最大匹配等于
n
n
n 即可
具体细节见代码:
// Problem: P1129 [ZJOI2007] 矩阵游戏
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P1129
// Memory Limit: 125 MB
// Time Limit: 1000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
//#pragma GCC optimize(2)
//#pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
//#pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#include<stack>
#include<queue>
#include<unordered_map>
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define Inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
//#define int ll
#define endl '\n'
#define IOS ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0)
using namespace std;
int read()
{
int res = 0,flag = 1;
char ch = getchar();
while(ch<'0' || ch>'9')
{
if(ch == '-') flag = -1;
ch = getchar();
}
while(ch>='0' && ch<='9')
{
res = (res<<3)+(res<<1)+(ch^48);//res*10+ch-'0';
ch = getchar();
}
return res*flag;
}
const int maxn = 1e3+5;
const int mod = 1e9+7;
const double pi = acos(-1);
const double eps = 1e-8;
int n,mp[maxn][maxn],p[maxn];
bool vis[maxn];
bool match(int id)
{
for(int i = 1;i <= n;i++)
{
if(mp[id][i] && !vis[i])
{
vis[i] = true;
if(!p[i] || match(p[i]))
{
p[i] = id;
return true;
}
}
}
return false;
}
int main()
{
int t = read();
while(t--)
{
n = read();
for(int i = 1;i <= n;i++)
for(int j = 1;j <= n;j++) mp[i][j] = read();
for(int i = 1;i <= n;i++) p[i] = 0;
int res = 0;
for(int i = 1;i <= n;i++)
{
for(int j = 1;j <= n;j++) vis[j] = 0;
if(match(i)) res++;
}
puts(res==n ? "Yes" : "No");
}
return 0;
}