请完成以下证明题：

 

3.证明命题6.6

（1）因为 G，G是群，所以存在 G，有 =e

ba=ca,两边右乘

 b  =c  

be=ce，因为be=b，ce=c，所以，b=e

（2） 因为 G，G是群，所以存在 G，有 =e

 ab=ac，两边左乘

ab=ac    eb=ec    b=c

由（1）（2）可知，命题6.6成立

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4、证明命题6.7

（1）任意 m、n ，设 a1=，b1=

因为前提为任意 a，b 群G，所以、G  

 G G

所以=

(2) 任意 m、n ，等于n个相乘，将a=

因为a G ，所以 aa...a(n个a） G  ，b=aa...a(n个a）=

所以=

（3） 的逆元为

而 的逆元为 gh ，n个相乘，即

 所以其逆元gh也n个相乘，即

所以 =

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5、 把g从G中抽出，直至抽剩两个数，其中为g1，和g1的逆元

不存在g=e，所以g*g=e

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   6、证明命题6.8

因为H是G的子群，H也是阿贝尔群，任意 a、b  H

因为 b  H，所以在H中存在b的逆元 ，即 H

又因为 a  H、   H，所以 a  H ( 封闭性） 

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7.

（1）证明一：

将 看成一个整体 g，g的逆元由  表示

即   =,由命题6.3可知

所以 的逆元为  

 

（2）证明二：

假设  的逆元为   

即（）*（）是否等于单位元 e 

 （）*（ ) = ( )*()*()

                                                     =()*()

 以此类推，原式=e

所以假设成立，  的逆元为