1.证明：

 证明：由a∈G，可得：∈G。

对于ba = ca，两边同时右乘，可得ba=ca

所以b = c 。

同理，对于ab = ac，两边同时左乘，可得ab = ac

所以b = c 。

原命题得证。

2.证明： 

 

①是m个g相乘，即m-1次群运算，同理为n个g相乘，即n-1次群运算

则： 为(m+n)个g相乘，即m+n-1次群运算

所以  =

②为n个相乘，即n-1次群运算

 = ...(n个) ==

③由gh=.

得 ===

若G是阿贝尔群，则满足交换律

=gh*gh...*gh（n个）=ggg...g(n个)hhh...h(n个)=

3.证明：

 设G的阶为2n，n=1,2,3...

q∈G，且q≠e，==e

 令g=q，则原命题得证。

4.证明：

 

 一、充分性：

a，b∈H，有∈H，由封闭性得，a∈H。

二、必要性：

①：对于a，b∈H， a∈H，令a=b，则∈H，

即存在单位元e= ∈H。

②： 对于a，b∈H， a∈H，则∈H，

a∈H，即满足封闭性。

③： 对于a，b∈H， a∈H，

e∈H，a∈H，则e=∈H。

即存在逆元

④： 对于a，b，c，∈H，

有a，b，c∈G

由于G是群，则有(ab)c = a(bc)

即满足结合律。

5.证明：

 证明：

因为∈G，则...∈G。

 (...)(...)=...()...=e...e...e=e.

所以 ...的逆元是...。