一 群、子群、陪集

实数集R上定义两种运算:

• + + +: R × R → R R\times R \rightarrow R R×R→R（加法）
• ∗ * ∗: R × R → R R\times R \rightarrow R R×R→R（乘法）

满足 R R R 在 + + + 运算下是 阿贝尔群 (交换群)，和 R − 0 = R ∗ R - {0} = R^{*} R−0=R∗ 在 ∗ * ∗ 运算下也是 阿贝尔群。回顾一些阿贝尔群的定义。

定义2.1. 群 是具有二元运算 ( ⋅ \cdot ⋅) 的一个集合 G G G

⋅ \cdot ⋅ : G × G → G G\times G \rightarrow G G×G→G， ∀ a , b ∈ G \forall a, b \in G ∀a,b∈G 元素 a ⋅ b ∈ G a\cdot b \in G a⋅b∈G

该运算 ⋅ \cdot ⋅ 具有以下性质:

1. ⋅ \cdot ⋅ 是结合的
2. 有一个恒等元 e ∈ G e \in G e∈G
3. G G G 中的每个元素是可逆的。

更明确地说，这意味着 ∀ a , b , c ∈ G \forall a, b, c \in G ∀a,b,c∈G 满足下面性质：

• G 1 G1 G1: a ⋅ ( b ⋅ c ) = ( a ⋅ b ) ⋅ c a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c (结合性)

• G 2 G2 G2: a ⋅ e = e ⋅ a = a a \cdot e = e \cdot a = a a⋅e=e⋅a=a (同一性，具有幺元)

• G 3 G3 G3: ∀ a ∈ G , ∃ a − 1 ∈ G \forall a \in G, \exist a^{-1} \in G ∀a∈G,∃a−1∈G 使得 a × a − 1 = a − 1 × a = e a \times a^{-1} = a^{-1} \times a = e a×a−1=a−1×a=e (存在逆元)

如果一个群满足 ∀ a , b ∈ G , a ⋅ b = b ⋅ a \forall a, b \in G, a \cdot b = b \cdot a ∀a,b∈G,a⋅b=b⋅a ，则该群是 阿贝尔群（交换群）

如果一个集合 M M M 定义了一个运算 ⋅ \cdotp ⋅ : M × M → M M \times M \rightarrow M M×M→M 但是这个运算只满足性质 G 1 G1 G1 也就是，该运算是 可结合 的，则 M M M 是定义在运算 ( ⋅ \cdotp ⋅) 上的 半群

如果半群 < M , ⋅ > <M,\cdot> <M,⋅> 存在 幺元，就称为其为 独异点。

例如，自然数集合 N = 0 , 1 , ⋯   , n , ⋯ N={0,1,\cdots, n, \cdots} N=0,1,⋯,n,⋯ 在加法下是一个（可交换的）独异点。但是，他不是一个群。

下面给出一些群的例子

例2.1

1. 自然数集合 Z = { ⋯   , − n , ⋯   , − 1 , 0 , 1 ⋯   , n , ⋯   } Z = \{\cdots, -n, \cdots, -1, 0, 1 \cdots, n, \cdots\} Z={⋯,−n,⋯,−1,0,1⋯,n,⋯} 是一个定义在加法运算下的阿贝尔群，幺元(单位元素)为 0 0 0。但是 Z ∗ − Z − 0 Z^{*} - Z - {0} Z∗−Z−0 在乘法下不是一个群。

2. 有理数集合 Q Q Q （ p , q ∈ Z ∧ q ≠ 0 , p q ∈ Q p,q \in Z \land q \ne 0, \frac{p}{q}\in Q p,q∈Z∧q​=0,qp​∈Q）是一个定义在 加法（addition）下的阿贝尔群，幺元为0；集合 Q ∗ = Q − 0 Q^{*} = Q-{0} Q∗=Q−0 也是一个阿贝尔群，且是定义在 乘法 （multiplication）下，幺元为 1 1 1

3. 给定一个非空集合 S S S ；双射 f : S → S f:S \rightarrow S f:S→S 的集合（也叫 S S S 的一个 排列），是一个定义在 函数组合（例如， f f f 和 G G G 的方法是组合 g ∘ f g \circ f g∘f）下的一个群，幺元为恒等函数 i d S id_S idS​ 。只要 S S S 有两个以上的元素这个群就不是 交换群。集合 S = 1 , ⋯   , n S={1, \cdots, n} S=1,⋯,n 的 排列 常记为 S n Sn Sn，称为 n n n 个元素上的对称群

4. 对任意的正整数 p ∈ N p \in N p∈N ，定义在 Z Z Z 上一个关系，表示 m ≡ n ( m o d p ) m \equiv n \quad (mod \quad p) m≡n(modp) 如下所示

   m ≡ n ( m o d e p ) m \equiv n \quad (mode \quad p) m≡n(modep) , 当且仅当(iff), ∃ k ∈ Z \exists k \in Z ∃k∈Z 使得 m − n = k p m-n=kp m−n=kp

   可以很容易地检查这是一个 等价 关系，而且，它在加法和乘法方面是兼容的。

   这意味着，如果 m 1 ≡ n 1 ( m o d p ) m_1 \equiv n_1 (mod p) m1​≡n1​(modp) 且 m 2 ≡ n 2 ( m o d p ) m_2 \equiv n_2 (mod p) m2​≡n2​(modp) ，则 m 1 + m 2 ≡ n 1 + n 2 ( m o d p ) m_1 + m_2 \equiv n_1+n_2 (mod p) m1​+m2​≡n1​+n2​(modp) 且 m 1 m 2 ≡ n 1 n 2 ( m o d p ) m_1m_2 \equiv n_1n_2 (mod p) m1​m2​≡n1​n2​(modp) 。

   因此，我们可以定义 等价类 集（ m o d p mod p modp）的加法运算和乘法运算:

   [ m ] + [ n ] = [ m + n ] [m] + [n] = [m + n] [m]+[n]=[m+n]
   和
   [ m ] ⋅ [ n ] = [ m n ] [m] \cdot [n] = [mn] [m]⋅[n]=[mn]

   很容易地检查 剩余类（ m o d p mod p modp） 的加法是导致 [ 0 ] [0] [0] 为零的阿贝尔群结构。该群表示为 Z p Z \frac{Z}{pZ} pZZ​ 。

5. 具有实（或 复）系数 的 n × n n \times n n×n 可逆矩阵 集是 矩阵乘法 下的一个 群，其 幺元为单位矩阵 E E E( ( I n ) (I_n) (In​))。

   这个群称为一般 线性群，通常用 G L ( n , R ) GL(n,R) GL(n,R) (或 G L ( n , C ) GL(n,C) GL(n,C))表示。

6. 具有实数（或复数）系数的 n × n n \times n n×n 可逆矩阵 A A A 的集合使得 d e t ( A ) = 1 det(A)=1 det(A)=1 是 矩阵乘法 下的一个 群，幺元为单位矩阵。

   这个群称为 特殊线性群，通常用 S L ( n , R ) SL(n, R) SL(n,R) (或 S L ( n , C ) SL(n,C) SL(n,C))表示。

7. 具有 实系数 的 n × n n \times n n×n 矩阵 Q Q Q 的集合，使得

   Q T Q = I n Q^{T}Q=I_n QTQ=In​

   是在矩阵乘法下的一个群。幺元为单位矩阵；我们有 Q − 1 = Q T Q^{-1} = Q^{T} Q−1=QT。

   这组叫做 正交群 ，通常用 O ( n ) O(n) O(n) 表示

8. 具有 实数系数 的 n × n n \times n n×n 可逆矩阵 Q Q Q 的集合，使得
   Q Q T = Q T Q = I n ∧ d e t ( Q ) = 1 QQ^{T}=Q^{T}Q=I_n \land \quad det(Q) = 1 QQT=QTQ=In​∧det(Q)=1

   是在矩阵乘法下的一个群。幺元为单位矩阵；如(6)，我们有 Q − 1 = Q T Q^{−1}=Q^{T} Q−1=QT。

   这种群称为 特殊正交群 或 旋转群，通常用 S O ( n ) SO(n) SO(n) 表示。

当 n ≥ 2 n \ge 2 n≥2 时， ( 5 ) − ( 8 ) (5)-(8) (5)−(8) 中的群是 非阿贝尔群，除了 S O ( 2 ) SO(2) SO(2) 是阿贝尔群(但 O ( 2 ) O(2) O(2) 不是阿贝尔群)。

习惯上用 + + + 表示交换群 G G G 的运算，在这种情况下，元素 a ∈ G a \in G a∈G 的逆 a − 1 a^{-1} a−1 用 − a -a −a 表示。

群的 单位元素(幺元)是 唯一的。事实上，我们可以证明一个 更普遍 的事实:

命题2.1 : 如果一个二元运算 ⋅ : M × M → M \cdotp : M \times M \rightarrow M ⋅:M×M→M 是结合的，如果 e ′ ∈ M e^{'} \in M e′∈M 是左单位元素（左幺元）， e ′ ′ ∈ M e^{''} \in M e′′∈M 是右单位元素（右幺元），即

∀ a ∈ M , e ′ ⋅ a = a \forall a \in M, e^{'}\cdot a = a ∀a∈M,e′⋅a=a
和
∀ a ∈ M , a ⋅ e ′ ′ = a \forall a \in M, a \cdot e^{''} = a ∀a∈M,a⋅e′′=a

则 e ′ = e ′ ′ e^{'} = e^{''} e′=e′′

命题 2.2 暗示了一个 单类 的 单位元素是唯一的 ，由于每个 群都是一个单类 ，所以 群的单位元素是唯一的 。而且，群中的 每个元素都有唯一的逆。这是一个更普遍的事实的结果:

命题2.2: 在一个存在幺元 e e e 的独异点 M M M 中， ∃ a ∈ M \exist a \in M ∃a∈M 有 左逆元 a ′ ∈ M a^{'}\in M a′∈M 和 右逆元 a ′ ′ ∈ M a^{''} \in M a′′∈M ，这意味着
a ′ ⋅ a = e ( G 3 l ) a^{'}\cdot a = e \qquad (G3l) a′⋅a=e(G3l)
和
a ⋅ a ′ ′ = e ( G 3 r ) a \cdot a^{''} = e \qquad (G3r) a⋅a′′=e(G3r)
则 a ′ = a ′ ′ a^{'} = a^{''} a′=a′′。

定义2.2 : 如果一群 G G G 有 有限数目 的 n n n 个元素，我们说 G G G 是一个 n n n 阶元素的群。如果 G G G 是无限的，我们说 G G G 有无限阶。群的 阶 通常用 ∣ G ∣ |G| ∣G∣ 表示(如果 G G G 是有限的)。

给定一个群 G G G，对任意的两个子集 R , S ⊆ G R,S \subseteq G R,S⊆G ，设
R S = { r ⋅ s ∣ r ∈ R , s ∈ S } RS=\{r\cdot s |r \in R,s\in S \} RS={r⋅s∣r∈R,s∈S}
特别的。 ∀ g ∈ G \forall g \in G ∀g∈G, 如果 R = g R={g} R=g ，则
g S = { g ⋅ s ∣ s ∈ S } gS = \{g\cdot s | s \in S\} gS={g⋅s∣s∈S}
同理，如果 S = g S={g} S=g, 则
R g = { r ⋅ g ∣ r ∈ R } Rg= \{r\cdot g | r \in R\} Rg={r⋅g∣r∈R}
从现在开始，我们将去掉乘法号，将 g 1 ⋅ g 2 g1·g2 g1⋅g2 写成 g 1 g 2 g1g2 g1g2

定义2.3 设 G G G 是一个群。对于任意的 g ∈ G g\in G g∈G，定义 L g L_g Lg​, 对于所有 a ∈ G a\in G a∈G，有 L g ( a ) = g a L_g(a) = ga Lg​(a)=ga, 即是 g g g 的左平移。同理定义了 R g R_g Rg​, 对于所有 a ∈ G a\in G a∈G, 有 R g ( a ) = a g R_g(a) = ag Rg​(a)=ag, 既是 g g g 的右平移

命题2.3 给定一个群 G G G, 平移 L g L_g Lg​ 和 R g R_g Rg​ 都是双射

定义2.4 给定一个群 G G G， G G G 的一个子集 H H H，当且仅当

• ( 1 ) (1) (1) G G G 的幺元 e e e 也属于 H H H （ e ∈ H e \in H e∈H）
• ( 2 ) (2) (2) ∀ h 1 , h 2 ∈ H \forall h_1,h_2 \in H ∀h1​,h2​∈H，则 h 1 h 2 ∈ H h_1h_2\in H h1​h2​∈H
• ( 3 ) (3) (3) ∀ h ∈ H \forall h \in H ∀h∈H, 则 h − 1 ∈ H h^{-1} \in H h−1∈H

则 H H H 是 G G G 的子群。

命题2.4 给定一个 群 G G G , H ⊆ G H \subseteq G H⊆G且 H ≠ Φ H \ne \Phi H​=Φ，使的 H H H 是 G G G 的 子群，当且仅当 ∀ h 1 , h 2 ∈ H \forall h_1, h_2 \in H ∀h1​,h2​∈H 有 h 1 h 2 − 1 ∈ H h_1h_2^{-1} \in H h1​h2−1​∈H

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如果群 G G G 是 有限 的，则可以使用以下准则

命题2.5 给定一个有限群 G G G， H ⊆ G H \subseteq G H⊆G，使得 H H H 是 G G G 的 子群，当且仅当

• ( 1 ) (1) (1) e ∈ H e \in H e∈H (幺元在 H H H 中)
• ( 2 ) (2) (2) H H H 在乘法下是 封闭 的

例子 2.2

1. ∀ n ∈ Z \forall n \in Z ∀n∈Z，集合 n Z = n k ∣ k ∈ Z nZ={nk|k\in Z} nZ=nk∣k∈Z 是 Z Z Z 的一个子群

2. 矩阵集合 G L + ( n , R ) = A ∈ G L ( n , R ) ∣ d e t ( A ) > 0 GL^{+}(n, R) = {A\in GL(n,R) | det(A) \gt 0} GL+(n,R)=A∈GL(n,R)∣det(A)>0 是群 G L ( n , R ) GL(n,R) GL(n,R) 的一个子群。

3. 群 S L ( n , R ) SL(n, R) SL(n,R) 是 群 G L ( n , R ) GL(n,R) GL(n,R) 的子群

4. 群 O ( n ) O(n) O(n) 是 群 G L ( n , R ) GL(n, R) GL(n,R) 的子群

5. 群 S O ( n ) SO(n) SO(n) 是群 O ( n ) O(n) O(n) 的子群，也是 群 S L ( n , R ) SL(n, R) SL(n,R) 的子群

6. 不难看出，每个 2 × 2 2 \times 2 2×2 旋转矩阵 R ∈ S O ( 2 ) R\in SO(2) R∈SO(2) 可以写成 R = ( cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ) , 0 ≤ θ ≤ 2 π . R=\begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}, 0 \le \theta \le 2\pi . R=(cosθsinθ​−sinθcosθ​),0≤θ≤2π. 通过将矩阵 R = ( cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ) R=\begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} R=(cosθsinθ​−sinθcosθ​) 视为 矩阵 Q = ( cos ⁡ θ − sin ⁡ θ 0 sin ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 1 ) Q=\begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} Q=⎝⎛​cosθsinθ0​−sinθcosθ0​001​⎠⎞​ 可以将 S O ( 2 ) SO(2) SO(2) 视为 S O ( 3 ) SO(3) SO(3) 的子群。

7. 形如 ( a b 0 c ) , a , b , c ∈ R , a , c ≠ 0 \begin{pmatrix} a & b \\0 & c \end{pmatrix}, a, b, c \in R, a,c \ne 0 (a0​bc​),a,b,c∈R,a,c​=0 矩阵集合是群 G L ( 2 , R ) GL(2, R) GL(2,R) 的子群。

8. 由四个矩阵 ( ± 1 0 0 ± 1 ) \begin{pmatrix} \pm 1 & 0 \\ 0 & \pm 1 \end{pmatrix} (±10​0±1​) 组成的集合 V V V 是 群 G L ( 2 , R ) GL(2, R) GL(2,R) 的子群，称为 称为 克莱因四群

定义2.5 如果 H H H 是 群 G G G 的子群，且 ∀ g ∈ G \forall g \in G ∀g∈G

G G G 中形如 g H gH gH 的集合称为 集合 H H H 的 左陪集；

G G G 中形如 H g Hg Hg 的集合 称为 集合 H H H 的 右陪集。

在 H H H 左陪集（或右陪集）中 产生了一种等价关系 ∼ \sim ∼ 定义如下: ∀ g 1 , g 2 ∈ G , g 1 ∼ g 2 \forall g_1,g_2 \in G, g_1 \sim g_2 ∀g1​,g2​∈G,g1​∼g2​
当且仅当 g 1 H = g 2 H g_1H = g_2H g1​H=g2​H (或者 g 1 ∼ g 2 g_1 \sim g_2 g1​∼g2​ 当且仅当 H g 1 = H g 2 Hg_1 = Hg_2 Hg1​=Hg2​) 。显然 ∼ \sim ∼ 是一个等价关系。

命题2.6 给定一个群 G G G 和 G G G 的任意子群 H H H，则有 g 1 H = g 2 H g_1H = g_2H g1​H=g2​H 当且仅当 ∀ g 1 , g 2 ∈ G , g 2 − 1 g 1 H = H \forall g_1, g_2 \in G, g_2^{-1}g_1H = H ∀g1​,g2​∈G,g2−1​g1​H=H

命题2.7 对于任意有限群 G G G 和 G G G 的任意子群 H H H, H H H 的阶 h h h ( h = ∣ H ∣ h= |H| h=∣H∣) , G G G 的阶 n n n ( n = ∣ G ∣ n=|G| n=∣G∣)，我们有 h ∣ n h|n h∣n。

定义2.6 给定有限群 G G G 和 G G G 的子群 H H H，如果 n = ∣ G ∣ n=|G| n=∣G∣ 和 h = ∣ H ∣ h=|H| h=∣H∣，则 n h \frac{n}{h} hn​ 的比值表示为 ( G : H ) (G:H) (G:H) ，称为 H H H 在 G G G 中的指数。

指数 ( G : H ) (G:H) (G:H) 是 G G G 中 H H H 的 左(和右)陪集的个数 命题2.7 可以表述为 ∣ G ∣ = ( G : H ) ∣ H ∣ |G|=(G:H)|H| ∣G∣=(G:H)∣H∣

G G G 中 H H H 的 左集 (一般不是一个群)记作 G / H G/H G/H。 G / H G/H G/H 的“点”是通过将一个陪集中的所有元素“坍缩”成一个元素而得到的。

例子 2.3

1. 取任意正整数，并考虑 Z Z Z 的子群 n Z nZ nZ (在加法下)。 0 0 0 的陪集是集合 { 0 } \{0\} {0}，任意非零整数 m ∈ Z m \in Z m∈Z 的陪集是 m + n Z = { m + n k ∣ k ∈ Z } 。 m + nZ = \{m+nk|k\in Z\}。 m+nZ={m+nk∣k∈Z}。 通过 m m m 除以 n n n 我们有 m = n q + r ， 0 ≤ r ≤ n − 1 且 r 唯 一 m=nq+r，0 \le r \le n-1 且 r唯一 m=nq+r，0≤r≤n−1且r唯一 。然后我们得到 r r r 是陪集 m + n Z m+nZ m+nZ 中最小的正元素。这意味着在 Z Z Z 的子群 n Z nZ nZ 的陪集和 模 n n n 的 余数 集 { 0 , 1 , ⋯   , n − 1 } \{0, 1, \cdots , n-1\} {0,1,⋯,n−1} 上存在一个 双射 ，或与 Z / n Z Z/nZ Z/nZ 等价的双射。

通过 ( g 1 H ) ( g 2 H ) = ( g 1 g 2 ) H (g_1H)(g_2H) = (g_1g_2)H (g1​H)(g2​H)=(g1​g2​)H 来定义 左陪集（或 右陪集）上的 乘法 运算是很有诱惑力的。但是这个运算一般没有很好的定义，除非子群 H H H 具有一个特殊的性质。上述 例子2.3 中的 1 1 1 是可以定义这样的运算。

子群 H H H 允许在 左陪集 上定义乘法运算的性质是 群同态 核的典型性质

定义2.7 给定两个群 G G G 和 G ′ G^{'} G′ ，函数 ϕ : G → G ′ \phi: G \rightarrow G^{'} ϕ:G→G′ 当且仅当 ϕ ( g 1 g 2 ) = ϕ ( g 1 ) ϕ ( g 2 ) , ∀ g 1 , g 2 ∈ G \phi(g_1g_2)=\phi(g_1)\phi(g_2), \forall g_1, g_2 \in G ϕ(g1​g2​)=ϕ(g1​)ϕ(g2​),∀g1​,g2​∈G 称为 同态

考虑 g 1 = g 2 = e , g 1 , g 2 ∈ G g_1=g_2=e, g_1,g_2\in G g1​=g2​=e,g1​,g2​∈G, 我们得到 ϕ ( e ) = e ′ \phi(e) = e^{'} ϕ(e)=e′ 考虑 g 1 = g , g 2 = g − 1 g_1=g, g_2=g^{-1} g1​=g,g2​=g−1, 我们得到 ϕ ( g − 1 ) = ( ϕ ( g ) ) − 1 \phi(g^{-1}) = (\phi(g))^{-1} ϕ(g−1)=(ϕ(g))−1。

定义2.8 如果 ϕ : G → G ′ \phi: G \rightarrow G^{'} ϕ:G→G′ 是一个 群同态，如果 H ⊆ G H\subseteq G H⊆G 是 G G G 的一个子群，也是 G ′ G^{'} G′ 的子群，称 I m H = ϕ ( H ) = { ϕ ( g ) ∣ g ∈ H } Im H = \phi(H) = \{\phi(g)| g \in H\} ImH=ϕ(H)={ϕ(g)∣g∈H} 称为 H H H 在 ϕ \phi ϕ 小的 像 （值域），以及 G G G 的子群， K e r ϕ = { g ∈ G ∣ ϕ ( g ) = e ′ } Ker \phi = \{g \in G | \phi(g) = e^{'}\} Kerϕ={g∈G∣ϕ(g)=e′} 称为 ϕ \phi ϕ 的 核

命题2.8 如果 ϕ : G → G ′ \phi: G \rightarrow G^{'} ϕ:G→G′ 是 群同态，当且仅当 K e r ϕ = { e } Ker \phi=\{e\} Kerϕ={e} 时， ϕ : G → G ′ \phi:G \rightarrow G^{'} ϕ:G→G′ 是 单射

定义2.9 如果有一个群同态 ψ : G ′ → G \psi: G^{'} \rightarrow G ψ:G′→G ，我们称群同态 ϕ : G → G ′ \phi:G \rightarrow G^{'} ϕ:G→G′ 时一个 同构。因此 ψ ∘ ϕ = i d G 和 ϕ ∘ ψ = i d G ′ \psi \circ \phi = id_G 和 \phi \circ \psi = id_{G^{'}} ψ∘ϕ=idG​和ϕ∘ψ=idG′​
如果 ϕ \phi ϕ 是 同构 的，则称 G G G 和 G ′ G^{'} G′ 是同构的。当 G ′ = G G^{'} = G G′=G 时，群同构 称为 自同构。

如果一个 群同态 ϕ : G → G ′ \phi:G \rightarrow G^{'} ϕ:G→G′ 是 同构，则 ψ : G ′ → G \psi:G^{'}\rightarrow G ψ:G′→G 满足唯一的条件是 ψ ∘ ϕ = i d G 和 ϕ ∘ ψ = i d G ′ 。 \psi \circ \phi = id_G 和 \phi \circ \psi = id_{G^{'}}。 ψ∘ϕ=idG​和ϕ∘ψ=idG′​。 这样的 同态 表示为 ϕ − 1 ϕ^{-1} ϕ−1

左平移 L g L_g Lg​ 和右平移 R g R_g Rg​ 是 G G G 的 自同构

假设 ϕ : G → G ′ \phi: G\rightarrow G^{'} ϕ:G→G′ 时双射同构，设 ϕ − 1 \phi^{-1} ϕ−1 是 ϕ \phi ϕ 的逆 (类似与反函数)。 ∀ a , b ∈ G \forall a, b\in G ∀a,b∈G ，我们有 ϕ ( ϕ − 1 ( a ) ϕ − 1 ( b ) ) = ϕ ( ϕ − 1 ( a ) ) ϕ ( ϕ − 1 ( b ) ) \phi(\phi^{-1}(a) \phi^{-1}(b)) = \phi(\phi^{-1}(a))\phi(\phi^{-1}(b)) ϕ(ϕ−1(a)ϕ−1(b))=ϕ(ϕ−1(a))ϕ(ϕ−1(b)) 因此， ϕ − 1 ( a b ) = ϕ − 1 ( a ) ϕ − 1 ( b ) \phi^{-1}(ab)=\phi^{-1}(a)\phi^{-1}(b) ϕ−1(ab)=ϕ−1(a)ϕ−1(b) 这样就证明了 ϕ − 1 \phi^{-1} ϕ−1 是同态的。

命题2.9 双射群同态 ϕ : G → G ′ \phi:G \rightarrow G^{'} ϕ:G→G′ 是一个同构。遵守这样的一个性质

g H = H g , ∀ g ∈ G ( ∗ ) gH=Hg, \forall g \in G \qquad \qquad \qquad(*) gH=Hg,∀g∈G(∗)

等价于两边乘以 g − 1 g^{-1} g−1 得到

g H g − 1 = H , ∀ g ∈ G gHg^{-1} = H, \forall g \in G gHg−1=H,∀g∈G

上面的式子等价于

g H g − 1 ⊆ H , ∀ g ∈ G ( ∗ ∗ ) gHg^{-1} \subseteq H, \forall g\in G \qquad \qquad \qquad (**) gHg−1⊆H,∀g∈G(∗∗)

这是因为 g H g − 1 ⊆ H gHg^{-1} \subseteq H gHg−1⊆H 意味着 H ⊆ g − 1 H g , ∀ g ∈ G H \subseteq g^{-1}Hg, \forall g \in G H⊆g−1Hg,∀g∈G

命题2.10 设 ϕ : G → G ′ \phi: G \rightarrow G^{'} ϕ:G→G′ 是一个群同态，因为性质$ (*)$, 则 H = K e r ϕ H = Ker \phi H=Kerϕ 满足 性质 ( ∗ ∗ ) (**) (∗∗)

定义2.10 设 群 G G G 的子群 H H H ， ∀ a ∈ G , a H = H a \forall a \in G, aH=Ha ∀a∈G,aH=Ha 则称 H H H 是 G G G 的 正规子群

等价定义 对于任意群 G G G , G G G 的子群 N N N 是 G G G 的 正规子群，当且仅当 g N g − 1 = N , ∀ g ∈ G gNg^{-1}=N, \forall g \in G gNg−1=N,∀g∈G 记为 N ◃ G N \triangleleft G N◃G

同态 ϕ : G → G ′ \phi:G \rightarrow G^{'} ϕ:G→G′ 的核 K e r ϕ Ker \phi Kerϕ 是 G G G 的一个正规子群

如果 G G G 是 交换群 (阿贝尔群)，那么 G G G 的每个子群都是 正规 的。

如果 N N N 是 G G G 的 正规子群，则由 左陪集 引出的 等价关系 ∼ \sim ∼ (见定义2.5)与由 右陪集 引出的 等价关系 相同 。而且，这个等价关系是 同余的。即 ∀ g 1 , g 2 , g 1 ′ , g 2 ′ ∈ G \forall g_1,g_2,g_1^{'}, g_2^{'} \in G ∀g1​,g2​,g1′​,g2′​∈G

• ( 1 ) (1) (1) 如果 g 1 N = g 1 ′ N g_1N=g_1^{'}N g1​N=g1′​N 和 g 2 N = g 2 ′ N g_2N=g_2^{'}N g2​N=g2′​N ， 则 g 1 g 2 N = g 1 ′ g 2 ′ N g_1g_2N=g_1^{'}g_2^{'}N g1​g2​N=g1′​g2′​N
• ( 2 ) (2) (2) 如果 g 1 N = g 2 N g_1N=g_2N g1​N=g2​N ，则 g 1 − 1 N = g 2 − 1 N g_1^{-1}N=g_2^{-1}N g1−1​N=g2−1​N

因此，我们可以通过设 ( g 1 N ) ( g 2 N ) = ( g 1 g 2 ) N (g_1N)(g_2N) = (g_1g_2)N (g1​N)(g2​N)=(g1​g2​)N 在模态的等价类的集合 G / ∼ G/\sim G/∼ 上定义一个群结构。

定义2.11 设 G G G 是一个群， N N N 是 G G G 的正规子群。通过(左)陪集 乘法 ( g 1 N ) ( g 2 N ) = ( g 1 g 2 ) N , g 1 , g 2 ∈ G (g_1N)(g_2N) = (g_1g_2)N, g_1, g_2 \in G (g1​N)(g2​N)=(g1​g2​)N,g1​,g2​∈G 得到的 群 记为 G / N G/N G/N，称为 N N N 除 G G G 的商。 元素 g ∈ G g\in G g∈G 的等价类 g N gN gN 也表示为 g ‾ \overline{g} g​ 或 [ g ] [g] [g] 。 通过 π ( g ) = g ‾ = g N \pi(g) = \overline{g}=gN π(g)=g​=gN 给出的映射 π : G → G / N \pi: G \rightarrow G/N π:G→G/N 是一个群同态，称为 正则投影

由于同态的核是正规子群。所以

命题2.11 给定 群同态 ϕ : G → G ′ \phi : G\rightarrow G^{'} ϕ:G→G′ ，群 G / K e r ϕ G/Ker \phi G/Kerϕ 和 I m ϕ = ϕ ( G ) Im \phi = \phi(G) Imϕ=ϕ(G)是同构的 。（第一同构定理）

定义2.12 给定两个群 G G G 和 H H H ，设 G × H G \times H G×H 是 G G G 和 H H H 的笛卡尔积，由乘法运算 ( ⋅ \cdotp ⋅) 通过 ( g 1 , h 1 ) ⋅ ( g 2 , h 2 ) = ( g 1 g 2 , h 1 , h 2 ) (g_1, h_1) \cdot (g_2, h_2) = (g_1g_2, h_1,h_2) (g1​,h1​)⋅(g2​,h2​)=(g1​g2​,h1​,h2​)

马上就可以证明 G × H G\times H G×H 是一个群，称为 G G G 和 H H H 的 直接乘积

类似地，给定任意 n n n 个群 G 1 , ⋯   , G n G_1, \cdots, G_n G1​,⋯,Gn​ ，我们可以用类似的方法定义直积 G 1 × ⋯ × G n G_1\times \cdots \times G_n G1​×⋯×Gn​ 。

如果 G G G 是一个 交换群，并且 H 1 , ⋯   , H n H_1, \cdots, H_n H1​,⋯,Hn​ 是 G G G 的子群，映射 a : H 1 × ⋯   , × H n → G a:H_1\times \cdots, \times H_n \rightarrow G a:H1​×⋯,×Hn​→G 可由 a ( h 1 , h 2 , ⋯   , h n ) = h 1 + h 2 + ⋯ + h n a(h_1,h_2,\cdots, h_n)=h_1+h_2+\cdots + h_n a(h1​,h2​,⋯,hn​)=h1​+h2​+⋯+hn​ 给出，使用 + + + 来表示群 G G G 上的运算。这很容易证明 a a a 是一个群同态，所以，它的像是群 G G G 的子群，表示为 ∑ i = 1 n H i \sum_{i=1}^{n}H_i ∑i=1n​Hi​ 。

命题2.12 给定一个 交换群 G G G ，如果 H 1 H_1 H1​ 和 H 2 H_2 H2​ 是 G G G 的任意 子群，使 H 1 ⋂ H 2 = { 0 } H_1 \bigcap H_2=\{0\} H1​⋂H2​={0}，则映射 a : H 1 × H 2 → H 1 + H 2 a:H_1 \times H_2 \rightarrow H_1 + H_2 a:H1​×H2​→H1​+H2​ 是 同构的 。

在 命题2.12 的条件下，即 H 1 ⋂ H 2 = { 0 } H_1 \bigcap H_2=\{0\} H1​⋂H2​={0} ，则 群 H 1 + H 2 H_1 + H_2 H1​+H2​ 称为 H 1 H_1 H1​ 与 H 2 H_2 H2​ 的 直和; 表示为 H 1 ⊕ H 2 H_1 \oplus H_2 H1​⊕H2​ ，我们有一个同构 H 1 × H 2 ≅ H 1 ⊕ H 2 H_1 \times H_2 \cong H1 \oplus H2 H1​×H2​≅H1⊕H2