CINTA作业四
- 3、证明命题6.6
- 4、证明命题6.7
- 5、证明对任意偶数阶群 G \mathbb G G，都存在g ∈ \in ∈G,g ≠ \ne =e且 g 2 g^2 g2=e.
- 6、证明命题6.9
- 7、设G是群，对任意n ∈ \in ∈ N \mathbb N N,i ∈ \in ∈[0,n], g i g_i gi ∈ \in ∈ G \mathbb G G.证明 g 0 g 1 . . . g n g_0g_1...g_n g0g1...gn的逆元是 g n − 1 . . . g 1 − 1 g 0 − 1 g_n^{-1}...g_1^{-1}g_0^{-1} gn−1...g1−1g0−1.
3、证明命题6.6
因为a
∈
\in
∈G，所以存在
a
−
1
a^{-1}
a−1，使得
a
a
−
1
aa^{-1}
aa−1=e.
因为
b
a
=
a
b
ba=ab
ba=ab
所以
b
a
a
−
1
=
c
a
a
−
1
baa^{-1}=caa^{-1}
baa−1=caa−1
即
b
e
=
c
e
be=ce
be=ce
所以
b
=
c
b=c
b=c
因为
a
b
=
a
c
ab=ac
ab=ac
所以
a
−
1
a
b
=
a
−
1
a
c
a^{-1}ab=a^{-1}ac
a−1ab=a−1ac
即
e
b
=
e
c
eb=ec
eb=ec
所以
b
=
c
b=c
b=c
4、证明命题6.7
(1)
g
m
g
n
g^mg^n
gmgn=g…g(m-1次) g…g(n-1次)=g…g(m+n-1次)=
g
m
+
n
g^{m+n}
gm+n
(2)
(
g
m
)
n
(g^m)^n
(gm)n=
g
m
.
.
.
g
m
g^m...g^m
gm...gm(n-1次)=((g…g)(m-1次)…(g…g))(n-1次)=g…g(mn-1次)=
g
m
n
g^{mn}
gmn
共有n个（m-1次），中间共有n-1次，所以共是n(m-1)+n-1=mn-1次。
(3)
(
h
−
1
g
−
1
)
−
n
=
(
h
−
1
g
−
1
)
−
1
.
.
.
(
h
−
1
g
−
1
)
−
1
=
(
g
−
1
)
−
1
(
h
−
1
)
−
1
.
.
.
(
g
−
1
)
−
1
(
h
−
1
)
−
1
=
(
g
h
)
n
(h^{-1}g^{-1})^{-n}=(h^{-1}g^{-1})^{-1}...(h^{-1}g^{-1})^{-1}=(g^{-1})^{-1}(h^{-1})^{-1}...(g^{-1})^{-1}(h^{-1})^{-1}=(gh)^n
(h−1g−1)−n=(h−1g−1)−1...(h−1g−1)−1=(g−1)−1(h−1)−1...(g−1)−1(h−1)−1=(gh)n
5、证明对任意偶数阶群 G \mathbb G G，都存在g ∈ \in ∈G,g ≠ \ne =e且 g 2 g^2 g2=e.
依题意得：
g
m
=
e
g^m=e
gm=e，其中m=2n，n
∈
\in
∈
N
\mathbb N
N*
所以
g
2
n
=
e
g^{2n}=e
g2n=e
所以
(
g
2
)
n
=
e
(g^2)^n=e
(g2)n=e
有封闭性的：
g
2
∈
G
g^2 \in \mathbb G
g2∈G
令
a
=
g
2
a=g^2
a=g2，所以
a
p
=
e
a^p=e
ap=e，其中p
∈
\in
∈
N
\mathbb N
N*
假设
g
2
≠
e
g^2\ne e
g2=e，则当n为奇数时，
a
n
a^n
an
≠
\ne
=e，与
a
p
=
e
a^p=e
ap=e矛盾，所以
g
2
=
e
g^2=e
g2=e
6、证明命题6.9
（1）结合律：
因为H是G的子集，所以
∀
a
,
b
,
c
∈
H
\forall a,b,c\in \mathbb H
∀a,b,c∈H都有
∀
a
,
b
,
c
∈
G
\forall a,b,c\in \mathbb G
∀a,b,c∈G
又因为G是群，所以
（
a
b
)
c
=
a
(
b
c
)
（ab)c=a(bc)
（ab)c=a(bc)
（2）存在单位元：
因为
a
,
a
∈
H
a,a\in \mathbb H
a,a∈H
所以
a
,
a
−
1
∈
H
a,a^{-1}\in \mathbb H
a,a−1∈H
因为
a
a
−
1
=
e
aa^{-1}=e
aa−1=e
所以
e
∈
H
e\in H
e∈H
（3）逆元：
因为
e
,
a
∈
H
e,a\in H
e,a∈H
所以
e
,
a
−
1
∈
H
e,a^{-1}\in H
e,a−1∈H
因为
e
a
−
1
=
a
−
1
ea^{-1}=a^{-1}
ea−1=a−1
所以
a
−
1
∈
H
a^{-1}\in \mathbb H
a−1∈H
（4）封闭性：
因为
a
,
b
∈
H
a,b\in \mathbb H
a,b∈H，所以
a
−
1
,
b
−
1
∈
H
a^{-1},b^{-1}\in \mathbb H
a−1,b−1∈H
所以
a
,
b
−
1
∈
H
a,b^{-1}\in \mathbb H
a,b−1∈H，所以
a
(
b
−
1
)
−
1
=
a
b
∈
H
a(b^{-1})^{-1}=ab\in \mathbb H
a(b−1)−1=ab∈H
7、设G是群，对任意n ∈ \in ∈ N \mathbb N N,i ∈ \in ∈[0,n], g i g_i gi ∈ \in ∈ G \mathbb G G.证明 g 0 g 1 . . . g n g_0g_1...g_n g0g1...gn的逆元是 g n − 1 . . . g 1 − 1 g 0 − 1 g_n^{-1}...g_1^{-1}g_0^{-1} gn−1...g1−1g0−1.
对
g
0
g_0
g0，其逆元为
g
0
−
1
g_0^{-1}
g0−1。
假设对于k个数，有
m
=
g
0
.
.
.
g
k
m=g_0...g_k
m=g0...gk，其的逆元为
m
−
1
=
g
k
−
1
.
.
.
g
0
−
1
m^{-1}=g_k^{-1}...g_0^{-1}
m−1=gk−1...g0−1,
对于k+1个数，有
g
0
.
.
.
g
k
+
1
=
m
g
k
+
1
g_0...g_{k+1}=mg_{k+1}
g0...gk+1=mgk+1，其逆元为
g
k
+
1
−
1
m
−
1
=
g
k
+
1
−
1
.
.
.
g
0
−
1
g_{k+1}^{-1}m^{-1}=g_{k+1}^{-1}...g_0^{-1}
gk+1−1m−1=gk+1−1...g0−1