干货|MIT线性代数课程精细笔记[第二课]

前言

MIT线性代数课程精细笔记[第一课]笔记见MIT线性代数课程精细笔记[第一课]


该笔记是连载笔记,希望对大家有帮助。



1知识概要


这一节中我们介绍一下消元法,即是上一节中我们提到的“系统化”求解方程所用的方法,通过矩阵消元运算可以很轻松地求解复杂方程。


另外还介绍了消元矩阵即我们的消元运算在矩阵乘法中所表现的形式。并从消元矩阵引入,介绍逆矩阵的基础知识



2 消元法求解方程 


2.1 消元法介绍


对于一些“好”的系数矩阵(可逆矩阵)A 来说,我们可以使用消元法来求解方程 Ax = b,我们还是从一个例子谈起。


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所谓矩阵的消元法,与我们初等数学中学习的解二元一次方程组的消元法其实师出同门,都是通过将不同行的方程进行消元运算来简化方程,最后能得到简化的方程组,只不过这里我们把系数单独抽出来进行运算,寻找一种矩阵情况下的普遍规律而已。


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注:


并不是所有的 A 矩阵都可消元处理,需要注意在我们消元过程中,如果主元位置(左上角)为 0,那么意味着这个主元不可取,需要进行 “换行”处理:


首先看它的下一行对应位置是不是 0,如果不是,就将这两行位置互换,将非零数视为主元。如果是,就再看下下行,以此类推。若其下面每一行都看到了,仍然没有非零数的话,那就意味着这个矩阵不可逆,消元法求出的解不唯一。



下面是三个例子:


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2.2 回带求解


其实回带求解应该和消元法同时进行,只不过本课中以及一些软件工作原理中它们是先后进行的,所以我们这里分开讨论,先介绍增广矩阵:


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一下子就看出来了,就是把系数矩阵 A 和向量 b 拼接成一个矩阵就行了。



3 消元矩阵 


3.1 行向量与矩阵的乘法


上面的消元法是从简单的变换角度介绍了消元的具体操作,接下来我们需要 用矩阵来表示变换的步骤,这也十分有必要,因为这是一种“系统地”变换矩阵的方法。



导致错误。其实学过矩阵之间的乘法之后这些东西都极为简单,但这里还是建议大家尽量从向量的角度去考虑问题。


3.2 消元矩阵介绍 


好的,接下来是重点。学会了行向量与矩阵之间的乘法,我们就可以使用行 向量对矩阵的行做操作了。所谓消元矩阵,就是将消元过程中的行变换转化为矩阵之间的乘法形式。


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我们消元过程是将第一行乘 -3 加到第二行,这是对第二行的操作,那么就从单位阵的第二行着手


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3.3 行交换矩阵与逆矩阵


3.3.1 行变换与列变换


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3.3.2 逆矩阵初探


可以说我们学会了消元矩阵,就相当于我们可以用矩阵乘法对一个矩阵进行任 何变化了,那么我们考虑一个反过程,即我们把一个消元结束的矩阵 U 如何变为 未经消元的矩阵 A 呢?


答案就是乘上一个逆矩阵。


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4 学习感悟

本节从矩阵消元的角度,介绍解方程的通用做法,并介绍了消元矩阵,使我们从矩阵乘法层面理解了消元的过程,并延伸了消元矩阵的应用:就是基于单位阵 I 的变化,对矩阵 A 进行行列变换的过程。


这一节的消元法以后会常用,要熟练掌握才可以。


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