四个子空间

行向量的秩是r，列向量的秩是r，$dim(null(A)) = r$dim(null(A))=r，$dim(null(A^T) )= m - r$dim(null(AT))=m−r

而且 前两个正交，后两个相交

正交

意思就是向量夹角90°

如果判断?

使用点乘

如果$X^T*y = 0$XT∗y=0，那么就说他们正交

毕达哥拉斯（勾股定理）

一个边长（向量）的平方，比如说向量$A = [1,2,3]^T$A=[1,2,3]T，它的边长的平方就是：$X^T*X$XT∗X （其实也就是举例零向量的距离。

举例

更一般化的定理

注意，最后两个是相同的$X^Ty和y^TX$XTy和yTX是一摸一样的，所以，就退出了，$x^T y = 0$xTy=0

这就是从毕达哥拉斯同理推出的正交条件。
两个正交向量的点乘为零

零向量与任何向量都相交

正交子空间

定义

子空间S和子空间T正交意味着，所有S中的向量都和T中的向量相交

如果两个子空间在某条直线相遇，那么它肯定不是相交的

行向量正交于 零空间

$Ax = 0$Ax=0

这样一看就非常明显了

注意：这里的维度非常重要，它们的秩加起来要得零
也就是补集的概念

NullSpace包含了所有垂直于行向量的向量

无解方程怎么解？

最最最最重要的的矩阵$A^TA$ATA

性质

• 方阵
• 对称

求解方法

把
$Ax = b$Ax=b
变成$A^TAx = A^Tb$ATAx=ATb

$A^TA$ATA可逆的充要条件，是A的列向量互相独立

这个公式为什么，下节课再说！

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