\(1\) Manacher

挺短，背是挺好背的

Manacher用于求回文串长度。思想大概就是：

1、加入字符集之外的识别字符（比如#）分隔开原来相邻的字母，这样所有的回文串都变成了以某个字符为中心的（否则如果是偶数长度的回文串还要特判）。

2、考虑借由以前的信息求出新的回文串长度。记录到现在为止最靠右的回文串中最右侧的字符下标&其对称轴的下标，不妨记这个最靠右的串为\(\rm S\)。那么考虑以当前位置作为对称轴的答案，一定至少是\(\min\){隔着\(\rm S\)的对称轴与其对称的另一个位置ans，\(|S|-i+1\)} 。然后就不断扩展即可。

3、关于复杂度证明。我们记一次帅气的操作的意义是成功让\(ans_i\)的初始值继承了与之对称的点的答案和边界的取\(\min\)，记以当前点为轴的最长回文子串为\(\rm T\)，\(T\)的右端点为\(q\)。可以知道

• （1）\(\rm S\)的右端点是单增的；
• （2）如果当前旧的\(maxlen<i\)，即未成功进行一次帅气的操作，那么显然while1次，\(maxlen\)增大一次；
• （3）如果当前的串经过了一次帅气的操作，那么当\(q<maxlen\)时，直接跳出while；当\(q\geq maxlen\)时，\(q\)增大\(maxlen\)必增大。所以得出结论，进行一次帅气的操作和\(maxlen\)的增大次数是严格同阶的。

So,最终复杂度就是\(\Theta(n)\)的。

void Manacher(char *s){
    int id, fars, i ; 
    id = 0, fars = 0 ;
    //id : 最靠右的回文串的中心位置 
    //fars : 迄今为止最靠右的回文串的最右侧 
    for (i = 1 ; i <= N ; ++ i)
        ns[++ L] = (int)In[i], ns[++ L] = '#' ;
    for (i = 1 ; i <= L ; ++ i){
        if (fars <= i) base[i] = 1 ; 
        else base[i] = min(fars - i + 1, base[id * 2 - i]) ;
        while (ns[i + base[i]] == ns[i - base[i]]) base[i] ++ ;
        if (i + base[i] > fars) id = i, fars = i + base[i] - 1 ;    
    }
}
int main(){
    scanf("%s", In + 1), 
    L = -1, N = strlen(In + 1) ;
    ns[++ L] = '$', ns[++ L] = '#' ; Manacher(In) ;
    for (int i = 1 ; i <= 2 * N + 2 ; ++ i) ans = max(ans, base[i] - 1) ; 
    cout << ans << endl ; return 0 ;
}

\(2\) PAM

学了PAM，不知道为啥感觉比SAM简单？参考的资料会放在最后。

其实就是一种自动机，以回文串为状态，左右各添加一个字符为转移的自动机。要点如下：

0、一个串的回文子串至多有\(O(n)\)个。

1、首先每个节点需要保存这个节点中回文串的长度。

2、显然始状态需要有两个，即奇数长度的\(s\)和偶数长度的\(s\)，称作“奇根”和“偶根”。那么为了方便呢，奇根的长度设置为\(-1\)，偶根长度设置为\(0\)。

3、考虑要从\(last\)指针扩展当前状态，假设当前需要insert的字母是\(c\)，是这个串里面的第\(p\)个字符，那我们需要找到一个后缀\(s[j...p-1]\quad s.t.\quad s[j...p-1]\)本身回文且\(s[j-1]=c\)，那么就可以向下扩展。

4、考虑怎么找这个后缀，显然对于一个串\(S\)，他的所有回文后缀都是其最长回文后缀的回文后缀。所以考虑\(fail\)指针，应当从当前状态连向它的最长回文后缀。

5、插入新节点时，考虑跳完\(fail\)后如果没有相应的转移边，就要新建一个状态然后连\(fail\).

然后是代码和一点注意：

struct PAM{
    int trie[MAXN][Sigma] ;
    int rt0, rt1, last, sz ;
    int len[MAXN], fail[MAXN] ;
}P ;
void _init(PAM &p){
    p.sz = -1, 
    p.rt0 = ++ p.sz, p.rt1 = ++ p.sz ;
    p.fail[p.rt0] = p.fail[p.rt1] = p.rt1 ;
    p.last = p.rt0, p.len[p.rt0] = 0, p.len[p.rt1] = -1 ; 
}
void _insert(PAM &p, int x, int pos, char *s){
    int u = p.last ; 
    while (s[pos - p.len[u] - 1] != s[pos]) u = p.fail[u] ; 
    if (!p.trie[u][x]){
        int fa = p.fail[u] ;
        int newn = ++ p.sz ; 
        p.len[newn] = p.len[u] + 2 ; 
        while (s[pos - p.len[fa] - 1] != s[pos]) fa = p.fail[fa] ; 
        p.fail[newn] = p.trie[fa][x], p.trie[u][x] = newn, 
    }
    p.last = p.trie[u][x] ;
}

6、\(\rm \color{red}{WARNING}\)，以下两句顺序不要写反：

p.fail[newn] = p.trie[fa][x], p.trie[u][x] = newn, 

原因是当\(fa=u\)时就出现环了。

\(3\) 闲扯

学完才知道，\(\rm PAM\)又简单又好背功能又多……Manacher被打爆了啊喂qwq。