线代再 \(OI\) 这块主要是行列式（别的我也没见过

• 一.行列式

1.定义
 行列式是数学中的一个函数，是将 \(n\times n\) 的矩阵 \(A\) 映射为一个标量，记作 \(det(A)/|A|\)

 一个 \(n\) 阶行列式直观定义如下：\(det(A)=\sum\limits_{\sigma}sgn(\sigma)\prod\limits_{i=1}^na_{i,\sigma(i)}\)

 \(\sigma\) 代表一个 \(\{1,2...n\}\) 的排列，\(sgn(\sigma)\) 表示 \((-1)^{\sigma 中逆序对个数 +1}\)

 

2.性质

 1.当有一行 \(/\) 列的值全为 \(0\) 时 \(det(A)=0\)

 2.若某一行有公因子 \(k\)，可直接提出

 3.在行列式中，某一行（列）的每个元素是两数之和，则此行列式可拆分为两个相加的行列式

 4.行列式中的两行（列）互换，改变行列式正负符号

 5.在行列式中，有两行（列）对应成比例或相同，则此行列式的值为0

 6.将一行（列）的 \(k\) 倍加进另一行（列）里，行列式的值不变

  注意：一行（列）的 \(k\) 倍加上另一行（列），行列式的值改变

 7.矩阵转置后行列式的值不变

 8.行列式的乘法定理：\(det(AB)=det(A)det(B)\)

 特别的，\(det(rA)=det(rI_nA)=det(rIn)det(A)=r^ndet(A)\)

 对乘法公式进行扩展，可以得到所谓 柯西–比内公式，从而使得只要两个矩阵的乘积是方块矩阵，就有类似于以上的结果

 例如，对于 \(n\times m\) 的矩阵 \(A\) 和 \(m\times n\) 的矩阵 \(B\)，设 \(S\) 为从 \(\{1,2...n\}\) 中选出 \(m\) 个元素的子集

 则有 \(det(AB)=\sum\limits_{S}det(A_s)det(B_s)\)(如果 \(n<m\) 则规定 \(det(AB)=0\))

 8.若 \(A\) 为可逆矩阵，则 \(det(A^{-1})=det(A)^{-1}\)

 

行列式的展开

 1.余子式

 \(M_{i,j}\) 为矩阵 \(A\) 去掉 \(i\) 行 \(j\) 列之后的行列式

 2.代数余子式

 \(M\) 关于 \(M_{i,j}\) 的代数余子式定义为 \(C_{i,j}=(-1)^{i+j}M_{i,j}\)

 3.拉普拉斯展开

 \(det(M)=\sum\limits_{i=1}^nm_{i,j}C_{i,j}=\sum\limits_{j=1}^nm_{i,j}C_{i,j}\)