矩阵的线性变换

例题1:求一个 2 × 2 2\times 2 2×2的线性变换矩阵 T T T,使其可以将单位向量 e 1 = [ 1 0 ] e_1=\begin {bmatrix} 1\\0\end {bmatrix} e1​=[10​]变换到 e 1 + e 2 e_1+e_2 e1​+e2​,且将单位向量 e 2 = [ 0 1 ] e_2=\begin {bmatrix} 0\\1\end {bmatrix} e2​=[01​]变换到 e 1 − e 2 e_1-e_2 e1​−e2​。

解:
设此变换为:
T = [ t 11 t 12 t 21 t 22 ] T=\begin {bmatrix} t_{11}&t_{12}\\t_{21}&t_{22}\end {bmatrix} T=[t11​t21​​t12​t22​​]

把单位向量 e 1 = [ 1 0 ] e_1=\begin {bmatrix} 1\\0\end {bmatrix} e1​=[10​]变换到 e 1 + e 2 e_1+e_2 e1​+e2​,则有:

T e 1 = [ t 11 t 12 t 21 t 22 ] [ 1 0 ] = [ t 11 t 21 ] = [ 1 1 ] = e 1 + e 2 Te_1=\begin {bmatrix} t_{11}&t_{12}\\t_{21}&t_{22}\end {bmatrix}\begin {bmatrix} 1\\0\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} t_{11}\\t_{21}\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} 1\\1\end {bmatrix}=e_1+e_2 Te1​=[t11​t21​​t12​t22​​][10​]=[t11​t21​​]=[11​]=e1​+e2​

即: t 11 = 1 t_{11}=1 t11​=1, t 21 = 1 t_{21}=1 t21​=1

把单位向量 e 2 = [ 0 1 ] e_2=\begin {bmatrix} 0\\1\end {bmatrix} e2​=[01​]变换到 e 1 − e 2 e_1-e_2 e1​−e2​,则有:

T e 2 = [ t 11 t 12 t 21 t 22 ] [ 0 1 ] = [ t 12 t 22 ] = [ 1 − 1 ] = e 1 − e 2 Te_2=\begin {bmatrix} t_{11}&t_{12}\\t_{21}&t_{22}\end {bmatrix}\begin {bmatrix} 0\\1\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} t_{12}\\t_{22}\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} 1\\-1\end {bmatrix}=e_1-e_2 Te2​=[t11​t21​​t12​t22​​][01​]=[t12​t22​​]=[1−1​]=e1​−e2​

即: t 12 = 1 t_{12}=1 t12​=1, t 22 = − 1 t_{22}=-1 t22​=−1

所以此变换 T = [ 1 1 1 − 1 ] T=\begin {bmatrix} 1&1\\1&-1\end {bmatrix} T=[11​1−1​]

例题2:如果一个 3 × 3 3\times 3 3×3的线性变换矩阵 T T T,使其可以将单位向量 e 1 = [ 1 0 0 ] e_1=\begin {bmatrix} 1\\0\\0\end {bmatrix} e1​=⎣⎡​100​⎦⎤​变换到 [ 3 − 2 1 ] \begin {bmatrix} 3\\-2\\1\end {bmatrix} ⎣⎡​3−21​⎦⎤​,把单位向量 e 2 = [ 0 1 0 ] e_2=\begin {bmatrix} 0\\1\\0\end {bmatrix} e2​=⎣⎡​010​⎦⎤​变换到 [ 6 0 7 ] \begin {bmatrix} 6\\0\\7\end {bmatrix} ⎣⎡​607​⎦⎤​,把单位向量 e 3 = [ 0 0 1 ] e_3=\begin {bmatrix} 0\\0\\1\end {bmatrix} e3​=⎣⎡​001​⎦⎤​变换到 [ 5 4 − 1 ] \begin {bmatrix} 5\\4\\-1\end {bmatrix} ⎣⎡​54−1​⎦⎤​,求此变换矩阵 T T T。

解:
设此变换为:
T = [ t 11 t 12 t 13 t 21 t 22 t 23 t 31 t 32 t 33 ] T=\begin {bmatrix} t_{11}&t_{12}&t_{13}\\t_{21}&t_{22}&t_{23}\\t_{31}&t_{32}&t_{33}\end {bmatrix} T=⎣⎡​t11​t21​t31​​t12​t22​t32​​t13​t23​t33​​⎦⎤​

把单位向量 e 1 = [ 1 0 0 ] e_1=\begin {bmatrix} 1\\0\\0\end {bmatrix} e1​=⎣⎡​100​⎦⎤​变换到 [ 3 − 2 1 ] \begin {bmatrix} 3\\-2\\1\end {bmatrix} ⎣⎡​3−21​⎦⎤​,即:

T e 1 = [ t 11 t 12 t 13 t 21 t 22 t 23 t 31 t 32 t 33 ] [ 1 0 0 ] = [ t 11 t 21 t 31 ] = [ 3 − 2 1 ] Te_1=\begin {bmatrix} t_{11}&t_{12}&t_{13}\\t_{21}&t_{22}&t_{23}\\t_{31}&t_{32}&t_{33}\end {bmatrix}\begin {bmatrix} 1\\0\\0\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} t_{11}\\t_{21}\\t_{31}\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} 3\\-2\\1\end {bmatrix} Te1​=⎣⎡​t11​t21​t31​​t12​t22​t32​​t13​t23​t33​​⎦⎤​⎣⎡​100​⎦⎤​=⎣⎡​t11​t21​t31​​⎦⎤​=⎣⎡​3−21​⎦⎤​

把单位向量 e 2 = [ 0 1 0 ] e_2=\begin {bmatrix} 0\\1\\0\end {bmatrix} e2​=⎣⎡​010​⎦⎤​变换到 [ 6 0 7 ] \begin {bmatrix} 6\\0\\7\end {bmatrix} ⎣⎡​607​⎦⎤​,即:

T e 2 = [ t 11 t 12 t 13 t 21 t 22 t 23 t 31 t 32 t 33 ] [ 0 1 0 ] = [ t 12 t 22 t 32 ] = [ 6 0 7 ] Te_2=\begin {bmatrix} t_{11}&t_{12}&t_{13}\\t_{21}&t_{22}&t_{23}\\t_{31}&t_{32}&t_{33}\end {bmatrix}\begin {bmatrix} 0\\1\\0\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} t_{12}\\t_{22}\\t_{32}\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} 6\\0\\7\end {bmatrix} Te2​=⎣⎡​t11​t21​t31​​t12​t22​t32​​t13​t23​t33​​⎦⎤​⎣⎡​010​⎦⎤​=⎣⎡​t12​t22​t32​​⎦⎤​=⎣⎡​607​⎦⎤​

把单位向量 e 3 = [ 0 0 1 ] e_3=\begin {bmatrix} 0\\0\\1\end {bmatrix} e3​=⎣⎡​001​⎦⎤​变换到 [ 5 4 − 1 ] \begin {bmatrix} 5\\4\\-1\end {bmatrix} ⎣⎡​54−1​⎦⎤​,即:

T e 3 = [ t 11 t 12 t 13 t 21 t 22 t 23 t 31 t 32 t 33 ] [ 0 0 1 ] = [ t 13 t 23 t 33 ] = [ 5 4 − 1 ] Te_3=\begin {bmatrix} t_{11}&t_{12}&t_{13}\\t_{21}&t_{22}&t_{23}\\t_{31}&t_{32}&t_{33}\end {bmatrix}\begin {bmatrix} 0\\0\\1\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} t_{13}\\t_{23}\\t_{33}\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} 5\\4\\-1\end {bmatrix} Te3​=⎣⎡​t11​t21​t31​​t12​t22​t32​​t13​t23​t33​​⎦⎤​⎣⎡​001​⎦⎤​=⎣⎡​t13​t23​t33​​⎦⎤​=⎣⎡​54−1​⎦⎤​

所以此变换为:

T = [ 3 6 5 − 2 0 4 1 7 − 1 ] T=\begin {bmatrix} 3&6&5\\-2&0&4\\1&7&-1\end {bmatrix} T=⎣⎡​3−21​607​54−1​⎦⎤​

例题3:求把二维空间 R 2 R^2 R2关于直线 y = x y=x y=x对称的线性变换矩阵 T T T。

解:
设此变换为:

T = [ t 11 t 12 t 21 t 22 ] T=\begin {bmatrix} t_{11}&t_{12}\\t_{21}&t_{22}\end {bmatrix} T=[t11​t21​​t12​t22​​]

把二维空间 R 2 R^2 R2关于直线 y = x y=x y=x对称,相当于把 e 1 = [ 1 0 ] e_1=\begin {bmatrix} 1\\0\end {bmatrix} e1​=[10​]变换到 [ 0 1 ] \begin {bmatrix} 0\\1\end {bmatrix} [01​];

把 e 2 = [ 0 1 ] e_2=\begin {bmatrix} 0\\1\end {bmatrix} e2​=[01​]变换到 [ 1 0 ] \begin {bmatrix} 1\\0\end {bmatrix} [10​],则有:

T e 1 = [ t 11 t 12 t 21 t 22 ] [ 1 0 ] = [ t 11 t 21 ] = [ 0 1 ] Te_1=\begin {bmatrix} t_{11}&t_{12}\\t_{21}&t_{22}\end {bmatrix}\begin {bmatrix} 1\\0\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} t_{11}\\t_{21}\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} 0\\1\end {bmatrix} Te1​=[t11​t21​​t12​t22​​][10​]=[t11​t21​​]=[01​]

T e 2 = [ t 11 t 12 t 21 t 22 ] [ 0 1 ] = [ t 12 t 22 ] = [ 1 0 ] Te_2=\begin {bmatrix} t_{11}&t_{12}\\t_{21}&t_{22}\end {bmatrix}\begin {bmatrix} 0\\1\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} t_{12}\\t_{22}\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} 1\\0\end {bmatrix} Te2​=[t11​t21​​t12​t22​​][01​]=[t12​t22​​]=[10​]

所以此变换 T = [ 0 1 1 0 ] T=\begin {bmatrix} 0&1\\1&0\end {bmatrix} T=[01​10​]

总结:
  求出空间中所有单位向量的线性变化矩阵 T e 1 = T ( e 1 ) Te_1=T(e_1) Te1​=T(e1​), T e 2 = T ( e 2 ) , ⋯ Te_2=T(e_2), \cdots Te2​=T(e2​),⋯,再拼合起来: T = [ T ( e 1 ) T ( e 2 ) ⋯ T ( e n ) ] T=[T(e_1) \qquad T(e_2) \qquad \cdots \qquad T(e_n)] T=[T(e1​)T(e2​)⋯T(en​)],这就是该线性变换的完整矩阵,对 n n n维空间 R n R^n Rn中的任意点 x = [ x 1 x 2 ⋮ x n ] x=\begin {bmatrix} x_1\\x_2\\ \vdots \\x_n\end {bmatrix} x=⎣⎢⎢⎢⎡​x1​x2​⋮xn​​⎦⎥⎥⎥⎤​,经过线性变换 T T T后所得的结果为:
T ( x ) = [ T ( e 1 ) T ( e 2 ) ⋯ T ( e n ) ] [ x 1 x 2 ⋮ x n ] T(x)=[T(e_1) \qquad T(e_2) \qquad \cdots \qquad T(e_n)]\begin {bmatrix} x_1\\x_2\\ \vdots \\x_n\end {bmatrix} T(x)=[T(e1​)T(e2​)⋯T(en​)]⎣⎢⎢⎢⎡​x1​x2​⋮xn​​⎦⎥⎥⎥⎤​

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