首先声明矩阵的构建运算均在numpy模块中由相应的函数，而本文的目的主要是因为闲的无聊

文章目录

• 矩阵及其运算
• 什么是矩阵？
• 矩阵基本运算
• 加法
• 数乘
• 乘法
• Hadamard乘积
• 点积
• python实现矩阵基本运算思路及代码
• 环境
• 模块导入
• 加法
• 思路
• 实现
• 数乘
• 思路
• 实现
• Hadamard乘积
• 思路
• 实现
• 点积
• 思路
• 实现

矩阵及其运算

什么是矩阵？

• 由$m{\times}n$m×n个  $a_{ij}$aij​(i=1,2,${\cdots}$⋯,m;j=1,2,${\cdots}$⋯,n) 数排列成的m行n列的数表

$A=\begin{bmatrix} {a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1n}}\\ {a_{21}} & {a_{22}} & {\cdots} & {a_{2n}}\\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots}\\ {a_{m1}} & {a_{m2}} & {\cdots} & {a_{mn}}\\ \end{bmatrix}记作{A_{m*n}}$A=⎣⎢⎢⎢⎡​a11​a21​⋮am1​​a12​a22​⋮am2​​⋯⋯⋱⋯​a1n​a2n​⋮amn​​⎦⎥⎥⎥⎤​记作Am∗n​

这m×n个数称为矩阵A的 元素（元）

矩阵基本运算

加法

• 两个$m{\times}n$m×n的矩阵相加，即对应元素相加

$\begin{bmatrix} {a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1n}}\\ {a_{21}} & {a_{22}} & {\cdots} & {a_{2n}}\\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots}\\ {a_{m1}} & {a_{m2}} & {\cdots} & {a_{mn}}\\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} {b_{11}} & {b_{12}} & {\cdots} & {b_{1n}}\\ {b_{21}} & {b_{22}} & {\cdots} & {b_{2n}}\\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots}\\ {b_{m1}} & {b_{m2}} & {\cdots} & {b_{mn}}\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} {a_{11}+b_{11}} & {a_{12}+b_{12}} & {\cdots} & {a_{1n}+b_{1n}}\\ {a_{21}+b_{21}} & {a_{22}+b_{22}} & {\cdots} & {a_{2n}+b_{2n}}\\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots}\\ {a_{m1}+b_{m1}} & {a_{m2}+b_{m2}} & {\cdots} & {a_{mn}+b_{mn}}\\ \end{bmatrix}$⎣⎢⎢⎢⎡​a11​a21​⋮am1​​a12​a22​⋮am2​​⋯⋯⋱⋯​a1n​a2n​⋮amn​​⎦⎥⎥⎥⎤​+⎣⎢⎢⎢⎡​b11​b21​⋮bm1​​b12​b22​⋮bm2​​⋯⋯⋱⋯​b1n​b2n​⋮bmn​​⎦⎥⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎢⎡​a11​+b11​a21​+b21​⋮am1​+bm1​​a12​+b12​a22​+b22​⋮am2​+bm2​​⋯⋯⋱⋯​a1n​+b1n​a2n​+b2n​⋮amn​+bmn​​⎦⎥⎥⎥⎤​

加法满足：

1. $A + B = B + A$A+B=B+A (交换律)
2. $(A + B) + C = A + (B + C)$(A+B)+C=A+(B+C) （结合律）

数乘

• 数$\lambda$λ与矩阵$A$A的乘积记作$\lambda A$λA或$A \lambda$Aλ

$\lambda A = A \lambda=\begin{bmatrix} {\lambda a_{11}} & {\lambda a_{12}} & {\cdots} & {\lambda a_{1n}}\\ {\lambda a_{21}} & {\lambda a_{22}} & {\cdots} & {\lambda a_{2n}}\\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots}\\ {\lambda a_{m1}} & {\lambda a_{m2}} & {\cdots} & {\lambda a_{mn}}\\ \end{bmatrix}$λA=Aλ=⎣⎢⎢⎢⎡​λa11​λa21​⋮λam1​​λa12​λa22​⋮λam2​​⋯⋯⋱⋯​λa1n​λa2n​⋮λamn​​⎦⎥⎥⎥⎤​

数乘满足：

1. $(\lambda \mu)A = \lambda (\mu A)$(λμ)A=λ(μA) $\lambda \mu$λμ为常数
2. $(\lambda \mu)A = \lambda A + \mu A$(λμ)A=λA+μA
3. $\lambda (A+B) = \lambda A + \lambda B$λ(A+B)=λA+λB

乘法

Hadamard乘积

• 两个同型矩阵中对应元素乘积，记作$A\bigodot B$A⨀B

$\begin{bmatrix} {a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1n}}\\ {a_{21}} & {a_{22}} & {\cdots} & {a_{2n}}\\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots}\\ {a_{m1}} & {a_{m2}} & {\cdots} & {a_{mn}}\\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} {b_{11}} & {b_{12}} & {\cdots} & {b_{1n}}\\ {b_{21}} & {b_{22}} & {\cdots} & {b_{2n}}\\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots}\\ {b_{m1}} & {b_{m2}} & {\cdots} & {b_{mn}}\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} {a_{11}{\times}b_{11}} & {a_{12}{\times}b_{12}} & {\cdots} & {a_{1n}{\times}b_{1n}}\\ {a_{21}{\times}b_{21}} & {a_{22}{\times}b_{22}} & {\cdots} & {a_{2n}{\times}b_{2n}}\\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots}\\ {a_{m1}{\times}b_{m1}} & {a_{m2}{\times}b_{m2}} & {\cdots} & {a_{mn}{\times}b_{mn}}\\ \end{bmatrix}$⎣⎢⎢⎢⎡​a11​a21​⋮am1​​a12​a22​⋮am2​​⋯⋯⋱⋯​a1n​a2n​⋮amn​​⎦⎥⎥⎥⎤​+⎣⎢⎢⎢⎡​b11​b21​⋮bm1​​b12​b22​⋮bm2​​⋯⋯⋱⋯​b1n​b2n​⋮bmn​​⎦⎥⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎢⎡​a11​×b11​a21​×b21​⋮am1​×bm1​​a12​×b12​a22​×b22​⋮am2​×bm2​​⋯⋯⋱⋯​a1n​×b1n​a2n​×b2n​⋮amn​×bmn​​⎦⎥⎥⎥⎤​

点积

• $A=(a_{ij})$A=(aij​)是$m{\times}s$m×s矩阵，$B=(b_{ij})$B=(bij​)是$s{\times}n$s×n矩阵
  规定矩阵$A$A与矩阵$B$B的乘积$m{\times}n$m×n矩阵$C=(c_{ij})$C=(cij​),其中:
  

$\boxed{c_{ij} = a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+{\cdots}+a_{is}b_{sj}\\ \quad =\displaystyle \sum^{s}_{k=1}{a_{ik}b_{kj}}(i=1,2,{\cdots},m;j=1,2,{\cdots},n)}$cij​=ai1​b1j​+ai2​b2j​+⋯+ais​bsj​=k=1∑s​aik​bkj​(i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n)​

矩阵点积满足：

1. $(AB)C=A(BC)$(AB)C=A(BC)
2. $\lambda (AB) = (\lambda A)B = A(\lambda B)$λ(AB)=(λA)B=A(λB)
3. $A(B+C) = AB + AC \;\;\;(B+C)A = BA + CA$A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA
4. $AB\neq BA$AB​=BA

矩阵相乘不满足交换律

python实现矩阵基本运算思路及代码

环境

Anaconda 3 + Python 3.6.5 + Jupyter

模块导入

import numpy as np

加法

思路

• 参考矩阵加法公式

1. 先判断两矩阵能否相加
2. 遍历两个矩阵
3. 各相同位置元素相加

实现

def add(a, b):
    if(a.shape != b.shape):
        print('两矩阵不为同型矩阵！')
        return
    c = np.zeros(a.shape)
    for i in range(a.shape[0]):
        for j in range(a.shape[1]):
            c[i][j] = a[i][j] + b[i][j]
    return c

数乘

思路

• 参考矩阵数乘公式

1. 遍历矩阵
2. 相乘

实现

def numSub(a, b):
    c = np.zeros(a.shape)
    for i in range(a.shape[0]):
        for j in range(a.shape[1]):
            c[i][j] = a[i][j] * b
    return c

Hadamard乘积

思路

• 参考Hadamard乘积公式

与矩阵加法思路一致

实现

# 矩阵对应元素相乘 Hadamard乘积
def had(a,b):
    if(a.shape != b.shape):
        print('两矩阵不为同型矩阵！')
        return
    c = np.zeros(a.shape)
    for i in range(c.shape[0]):
        for j in range(c.shape[1]):
            c[i][j] = a[i][j] * b[i][j]

点积

思路

• 参考矩阵点积公式

理解公式：乘积C的第m行第n列的元素等于矩阵A的第m行的元素与矩阵B的第n列对应元素乘积之和。

1. 判断两矩阵是否为同型矩阵
2. 构建m行n列的结果矩阵
3. 向结果矩阵中赋值:
   (1). 遍历结果矩阵
   (2). 求出矩阵A对应行与矩阵B对应列的元素乘积之和:
            根据公式，A矩阵的行与B矩阵的列均确定，因此根据累加条件遍历两个矩阵来确定另一个索引位置，并累加求和

实现

# 矩阵相乘
def mul(a,b):
    if(a.shape[1] != b.shape[0]):
        print('两矩阵不能相乘')
        return
    m = a.shape[0]
    n = b.shape[1]
    s = a.shape[1]
    c = np.zeros((m,n))
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            for k in range(s):
                c[i][j] += a[i][k]*b[k][j]
            pass
        pass
    return c