416-分割等和子集(01背包)

给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

注意:

1. 每个数组中的元素不会超过 100
2. 数组的大小不会超过 200

示例 1:

输入: [1, 5, 11, 5]

输出: true

解释: 数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11].

示例 2:

输入: [1, 2, 3, 5]

输出: false

解释: 数组不能分割成两个元素和相等的子集.

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/partition-equal-subset-sum
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基本思路

    public boolean canPartition(int[] nums) {
        int sum = 0;
        for(int num : nums) {
            sum += num;
        }
        if(sum % 2 == 1) {
            return false;
        } else {
            // 01背包
            int target = sum / 2;
            int[][] f = new int[nums.length][target + 1];
            for (int v = 0; v <= target; v++) {
                f[0][v] = 0;
            }
            for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
                for (int v = nums[i]; v <= target; v++) {
                    f[i][v] = Math.max(f[i - 1][v - nums[i]] + nums[i], f[i - 1][v]);
                    if(f[i][v] == target) {
                        return true;
                    }
                }
            }
            return false;
        }
    }

优化空间复杂度

    public boolean canPartition(int[] nums) {
        int sum = 0;
        for(int num : nums) {
            sum += num;
        }
        if(sum % 2 == 1) {
            return false;
        } else {
            // 01背包
            int target = sum / 2;
            int[] f = new int[target + 1];
            target = 10;
            for (int num : nums) {
                for (int v = target; v >= num; v--) {
                    f[v] = Math.max(f[v - num] + num, f[v]);
                    if(f[v] == target) {
                        return true;
                    }
                }
            }
            return false;
        }
    }

其中第二重循环下限可以改进：

    public boolean canPartition(int[] nums) {
        int sum = 0;
        for(int num : nums) {
            sum += num;
        }
        if(sum % 2 == 1) {
            return false;
        } else {
            // 01背包
            int target = sum / 2;
            int[] f = new int[target + 1];
            int s = 0;
            target = 10;
            for (int num : nums) {
                for (int v = target; v >= Math.max(s - target, num); v--) {
                    f[v] = Math.max(f[v - num] + num, f[v]);
                    if(f[v] == target) {
                        return true;
                    }
                }
                s += num;
            }
            return false;
        }
    }

或者使用boolean数组：表示能否找到和为i的数组元素集合

            boolean[] f = new boolean[target + 1];
            f[0] = true;
            for (int num : nums) {
                for (int v = target; v >= num; v--) {
                    f[v] = f[v - num] || f[v];
                    if (f[target]) {
                        return true;
                    }
                }
            }
            return f[target];

        boolean[] dp = new boolean[target + 1];
        dp[0] = true;
        for (int num : nums) {
            for (int i = target; i >= num; i--) {
                // 下面的判断语句等价于上面的f[v] = f[v - num] || f[v];
                if (dp[i - num] == true)
                    dp[i] = true;
            }
        }
        return dp[target];