Treap详解

Treap=Tree+Heap

Treap中每个节点有2个值，其中一个满足二叉查找树的性质，一个满足大根堆的性质。把满足二叉查找树性质的值称作data，把满足大根堆性质的值称作value。 对于Treap来说，当前节点的data值大于左儿子，小于右儿子。当前节点的value值小于儿子节点的值。
每个节点的data我们无法改变，为了保证Treap的平衡性，我们需要让每个节点的value均为随机值，这样我们就可以保证这棵树“基本平衡”。

统计

\(up\)：计算儿子数

void up(int x)
{
    t[x].siz=t[t[x].left].siz+t[t[x].right].siz+1;
}

旋转

右旋就是，让当前节点降为自己的右儿子，让左儿子代替自己，并让自己左儿子的右儿子成为自己的左儿子。
左旋相反，让当前节点降为自己的左儿子，让右儿子代替自己，并让自己右儿子的左儿子成为自己的右儿子。
注：代码中的now加上了&是为了可以在函数中同时更改now的值。如上图右旋时，原来now指向\(A\)节点，运行完函数后指向\(B\)节点。

void right_rorate(int &now)
{
    int tmp=t[now].left;
    t[now].left=t[tmp].right;
    t[tmp].right=now;
    t[tmp].siz=t[now].siz;
    up(now);
    now=tmp;
}
void left_rorate(int &now)
{
    int tmp=t[now].right;
    t[now].right=t[tmp].left;
    t[tmp].left=now;
    t[tmp].siz=t[now].siz;
    up(now);
    now=tmp;
}

旋转实例：

插入

给节点随机分配一个优先级(value)，先把要插入的点插入到一个叶子上，然后跟维护堆一样，我们维护一个 小根堆，如果当前节点的优先级比它的儿子大就旋转，如果当前节点是根的左儿子就右旋，如果当前节点是根的右儿子就左旋。

void insert(int &now,int data)
{
    if(now==0)
    {
        now=++cnt;
        t[now].siz=1;
        t[now].data=data;
        t[now].value=rand()*rand()%19620817;
        return ;
    }
    t[now].siz++;
    if(data>=t[now].data)
    {
        insert(t[now].right,data);
    }
    else
    {
        insert(t[now].left,data);
    }
    if(t[now].left!=0&&t[now].value>t[t[now].left].value)
    {
        right_rorate(now);
    }
    if(t[now].right!=0&&t[now].value>t[t[now].right].value)
    {
        left_rorate(now);
    }
    up(now);
}

删除

因为\(Treap\)满足堆性质，所以只需要把要删除的节点旋转到叶节点上，然后直接删除就可以了。
具体的方法：
如果该节点的左子节点的优先级小于右子节点的优先级，右旋该节点，使该节点降为右子树的根节点，然后访问右子树的根节点，继续操作；
反之，左旋该节点,使该节点降为左子树的根节点，然后访问左子树的根节点，继续操作，直到变成可以直接删除的节点。
（即：让value的结点旋到上面，满足堆的性质）

void erase(int &now,int data)
{
    t[now].siz--;
    if(t[now].data==data)
    {
        if(t[now].left==0&&t[now].right==0)
        {
            now=0;
            return ;
        }
        if(t[now].left==0||t[now].right==0)
        {
            now=t[now].left+t[now].right;
            return ;
        }
        if(t[t[now].left].value<t[t[now].right].value)
        {
            right_rorate(now);
            erase(t[now].right,data);
            return ;
        }
        else
        {
            left_rorate(now);
            erase(t[now].left,data);
            return ;
        }
    }
    if(t[now].data>=data)
    {
        erase(t[now].left,data);
    }
    else
    {
        erase(t[now].right,data);
    }
    up(now);
}

查询排名

显然，若t[now].data<data，则在now的右子树中仍有部分小于data的数，所以在加上t[t[now].left].siz+1的同时还需在now的右子树中继续递归。反之，则只需在左子树中递归

int rank(int now,int data)
{
    if(now==0)
    {
        return 0;
    }
    if(data>t[now].data)
    {
        return t[t[now].left].siz+1+rank(t[now].right,data);
    }
    return rank(t[now].left,data);
}

查询排名为\(x\)的数

若左子树的大小刚好为\(x-1\)，则当前节点的data即为所求结果。
若左子树的大小大于\(x-1\)，则在右子树中递归查找。
若左子树的大小小于\(x-1\)，则在左子树中递归查找。

int find(int now,int rank)
{
    if(rank==t[t[now].left].siz+1)
    {
        return t[now].data;
    }
    if(rank>t[t[now].left].siz+1)
    {
        return find(t[now].right,rank-t[t[now].left].siz-1);
    }
    return find(t[now].left,rank);
}

查询前驱

函数定义：

int query_pre(int now,int data)

若now==0，则不存在返回值（return 0）。
若当前节点的值大于等于data，则在右子树中找。（必须包含等于！！！）
若当前节点的值小于data，则在左子树中找，若找不到，则返回当前节点的值。（不能有等于！！！）

int query_pre(int now,int data)
{
    if(now==0)
    {
        return 0;
    }
    if(t[now].data>=data)
    {
        return query_pre(t[now].left,data);
    }
    int tmp=query_pre(t[now].right,data);
    if(tmp==0)
    {
        return t[now].data;
    }
    return tmp;
}

查询后继

与前驱几乎相同（略）

int query_suf(int now,int data)
{
    if(now==0)
    {
        return 0;
    }
    if(t[now].data<=data)
    {
        return query_suf(t[now].right,data);
    }
    int tmp=query_suf(t[now].left,data);
    if(tmp==0)
    {
        return t[now].data;
    }
    return tmp;
}

洛谷P3369完整代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct Treap
{
    int data;
    int value;
    int left;
    int right;
    int siz;
};
Treap t[100005];
int cnt;
int root;
void up(int x)
{
    t[x].siz=t[t[x].left].siz+t[t[x].right].siz+1;
}
void right_rorate(int &now)
{
    int tmp=t[now].left;
    t[now].left=t[tmp].right;
    t[tmp].right=now;
    t[tmp].siz=t[now].siz;
    up(now);
    now=tmp;
}
void left_rorate(int &now)
{
    int tmp=t[now].right;
    t[now].right=t[tmp].left;
    t[tmp].left=now;
    t[tmp].siz=t[now].siz;
    up(now);
    now=tmp;
}
void insert(int &now,int data)
{
    if(now==0)
    {
        now=++cnt;
        t[now].siz=1;
        t[now].data=data;
        t[now].value=rand()*rand()%19620817;
        return ;
    }
    t[now].siz++;
    if(data>=t[now].data)
    {
        insert(t[now].right,data);
    }
    else
    {
        insert(t[now].left,data);
    }
    if(t[now].left!=0&&t[now].value>t[t[now].left].value)
    {
        right_rorate(now);
    }
    if(t[now].right!=0&&t[now].value>t[t[now].right].value)
    {
        left_rorate(now);
    }
    up(now);
}
void erase(int &now,int data)
{
    t[now].siz--;
    if(t[now].data==data)
    {
        if(t[now].left==0&&t[now].right==0)
        {
            now=0;
            return ;
        }
        if(t[now].left==0||t[now].right==0)
        {
            now=t[now].left+t[now].right;
            return ;
        }
        if(t[t[now].left].value<t[t[now].right].value)
        {
            right_rorate(now);
            erase(t[now].right,data);
            return ;
        }
        else
        {
            left_rorate(now);
            erase(t[now].left,data);
            return ;
        }
    }
    if(t[now].data>=data)
    {
        erase(t[now].left,data);
    }
    else
    {
        erase(t[now].right,data);
    }
    up(now);
}
int rank(int now,int data)
{
    if(now==0)
    {
        return 0;
    }
    if(data>t[now].data)
    {
        return t[t[now].left].siz+1+rank(t[now].right,data);
    }
    return rank(t[now].left,data);
}
int find(int now,int rank)
{
    if(rank==t[t[now].left].siz+1)
    {
        return t[now].data;
    }
    if(rank>t[t[now].left].siz+1)
    {
        return find(t[now].right,rank-t[t[now].left].siz-1);
    }
    return find(t[now].left,rank);
}
int query_pre(int now,int data)
{
    if(now==0)
    {
        return 0;
    }
    if(t[now].data>=data)
    {
        return query_pre(t[now].left,data);
    }
    int tmp=query_pre(t[now].right,data);
    if(tmp==0)
    {
        return t[now].data;
    }
    return tmp;
}
int query_suf(int now,int data)
{
    if(now==0)
    {
        return 0;
    }
    if(t[now].data<=data)
    {
        return query_suf(t[now].right,data);
    }
    int tmp=query_suf(t[now].left,data);
    if(tmp==0)
    {
        return t[now].data;
    }
    return tmp;
}
int main()
{
    srand(19620817);
    int n;
    cin>>n;
    int opt,data;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d %d",&opt,&data);
        if(opt==1)
        {
            insert(root,data);
        }
        if(opt==2)
        {
            erase(root,data);
        }
        if(opt==3)
        {
            printf("%d\n",rank(root,data)+1);
        }
        if(opt==4)
        {
            printf("%d\n",find(root,data));
        }
        if(opt==5)
        {
            printf("%d\n",query_pre(root,data));
        }
        if(opt==6)
        {
            printf("%d\n",query_suf(root,data));
        }
    }
    return 0;
}

注：本文部分图片来自Brave_Cattle的Blog（自己学的时候参考的）