LXII.CF908D New Year and Arbitrary Arrangement

思路：

期望题果然还是恶心呀……

我们设\(f[i][j]\)表示当串中有\(i\)个a和\(j\)个ab时的方案数。为了方便，设\(A=\dfrac{P_a}{P_a+P_b},B=\dfrac{P_b}{P_a+P_b}\)。

显然，可以这样转移：

\(f[i][j]=f[i+1][j]*A+f[i][i+j]*B\)

因为，如果串后面加上一个a，概率是\(A\)，并且加完后唯一的影响就是\(i+1\)；如果加入一个b，概率是\(B\)，加完后前面每一个a都会与这个b形成一对ab。

那么边界条件呢？

显然，当\(i+j\geq k\)时，只要再往后面加入一个b，过程就停止了。

则这个的期望长度应该是：

\(B*\sum\limits_{a=0}^{\infty}(i+j+a)*A^a\)

其中，枚举的这个\(a\)是在终于搞出一个b前，所刷出的a的数量。

为了方便，我们设\(i+j=c\)，并用\(i\)替换\(a\)。即：

\(B*\sum\limits_{i=0}^{\infty}(c+i)*A^i\)

因为\(A+B=1\)，我们可以用\((1-A)\)代\(B\)。

即：

\((1-A)*\sum\limits_{i=0}^{\infty}(c+i)*A^i\)

拆开括号得

\(\sum\limits_{i=0}^{\infty}(c+i)*A^i-\sum\limits_{i=0}^{\infty}(c+i)*A^{i+1}\)

一上来直接\(\infty\)有些不直观，我们用\(n\)替换掉。

\(\sum\limits_{i=0}^n(c+i)*A^i-\sum\limits_{i=0}^n(c+i)*A^{i+1}\)

在第二个式子里面用\(i+1\)代掉\(i\)

\(\sum\limits_{i=0}^n(c+i)*A^i-\sum\limits_{i=1}^{n+1}(c+i-1)*A^i\)

将第一个\(\Sigma\)中\(i=0\)的情况和第二个\(\Sigma\)中\(i=n+1\)的情况分别提出

\(c+\sum\limits_{i=1}^n(c+i)*A^i-\sum\limits_{i=1}^n(c+i-1)*A^i-(c+n)*A^{n+1}\)

合并两个\(\Sigma\)

\(c+\sum\limits_{i=1}^nA^i-(c+n)*A^{n+1}\)

套等比数列求和公式（注意要先提出一个\(A\)使首项为\(1\)）

\(c+A*\dfrac{1-A^n}{1-A}-(c+n)*A^{n+1}\)

注意到\(1-A=B\)

\(c+A*\dfrac{1-A^n}{B}-(c+n)*A^{n+1}\)

现在，考虑\(n\rightarrow\infty\)的情况。即：

\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}c+A*\dfrac{1-A^n}{B}-(c+n)*A^{n+1}\)

注意到\(0<A<1\)，因此\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}A^n=0\)

带入发现

\(c+A*\dfrac{1-0}{B}-(c+n)*0\)

处理一下

\(c+\dfrac{A}{B}\)

注意到我们一开始的定义了吗？

\(A=\dfrac{P_a}{P_a+P_b},B=\dfrac{P_b}{P_a+P_b}\)

以及\(c=i+j\)

代入得

\(i+j+\dfrac{P_a}{P_b}\)

也就是说，边界条件就是\(f[i][j]=i+j+\dfrac{P_a}{P_b}(i+j\geq k)\)！！！

再搬出我们一开始的转移式

\(f[i][j]=f[i+1][j]*A+f[i][i+j]*B\)

完事。

哦，另外，还要思考一下答案到底是\(f[0][0]\)还是\(f[1][0]\)。

因为一开始的那些b，无论来多少个都是没用的，因此不如直接从\(f[1][0]\)开始。（事实上，你如果把转移式代回去或者打个表的话，你会发现就有\(f[0][0]=f[1][0]\)）

复杂度\(O(k^2+\log mod)\)。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a,b,A,B,f[1010][1010],c;
const int mod=1e9+7;
int ksm(int x,int y){
    int z=1;
    for(;y;x=(1ll*x*x)%mod,y>>=1)if(y&1)z=(1ll*z*x)%mod;
    return z;
}
int dfs(int x,int y){
    if(x+y>=n)return x+y+c;
    if(f[x][y]!=-1)return f[x][y];
    int &res=f[x][y];res=0;
    (res+=1ll*dfs(x+1,y)*A%mod)%=mod;
    (res+=1ll*dfs(x,x+y)*B%mod)%=mod;
    return res;
}
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&a,&b),A=1ll*a*ksm(a+b,mod-2)%mod,B=1ll*b*ksm(a+b,mod-2)%mod,c=1ll*a*ksm(b,mod-2)%mod,memset(f,-1,sizeof(f));
    printf("%d\n",dfs(1,0));
    return 0;
}