与一般想法不同，多项式也有自己的对数函数和指数函数。它们也可以在 \(O(n\log n)\) 的优秀时间内求解。
在学习多项式对数函数和指数函数前，请确保已掌握多项式的逆和基本的微积分知识。
有这么一个式子广为人知
\[e^x=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}\dfrac{x^i}{i!} \]事实上对数函数也可以像这样用无限幂级数定义：
\[\ln(1-x)=-\sum\limits_{i=1}^{+\infty}\dfrac{x^i}{i} \] \[\ln(1+x)=-\sum\limits_{i=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^i\cdot x^i}{i} \]它们就是大名鼎鼎的泰勒级数。指数函数的泰勒展开式对于任意实数 \(x\) 都成立，对数函数的泰勒展开式只对定义域内的一些 \(x\) 成立；不过我们并不关心 \(x\)，只关心其系数。多项式的指数函数和对数函数就是用这些级数定义的。因为这些级数都是无限级数，多项式只在模意义下存在指数函数和对数函数。
多项式对数函数
多项式 \(g(x)\) 在模 \(x^n\) 意义下的对数函数存在，当且仅当其常数项为 \(1\)，否则它对应的泰勒级数不收敛。把 \(\ln g(x)\) 视作一个关于 \(x\) 的函数，我们有
\[\begin{aligned}\left[\ln g(x)\right]^\prime=\dfrac{g(x)^\prime}{g(x)}\\ \ln g(x)=\int\mathrm{d}\ln g(x)=\int\dfrac{g(x)^\prime}{g(x)}\mathrm{d}x\end{aligned} \]只要对 \(g(x)\) 求导，再乘上 \(\dfrac{1}{g(x)}\) 就能够得到 \(\ln g(x)\) 的导数，这个导数的积分就是 \(\ln(g(x))\)。多项式求导、积分都是非常容易的事情，但是，\(\dfrac{g(x)^\prime}{g(x)}\) 的不定积分随常数项的不同有无穷多个，我们应该取哪一个呢？我们取常数项为 \(0\) 的那个作为答案，因为只有常数项为 \(0\) 的多项式在模意义下存在指数函数。
多项式指数函数
上面我们提到，多项式 \(g(x)\) 在模 \(x^n\) 意义下的指数函数存在，当且仅当其常数项为 \(0\)，否则它对应的泰勒级数也一样不收敛。由于 \(\exp f(x)\) 的导数里还是存在 \(\exp f(x)\)，我们只能用分治 FFT 的方法 \(O\left(n\log^2n\right)\) 求出。这种方法由于比较缓慢而不常使用，通常我们使用Newton's Method \(O(n\log n)\) 求。
分治法并非一无是处。这个方法不需要写多项式求逆和多项式对数函数，写起来要快很多；虽然复杂度多一个对数，但常数较小，也不会慢特别多。
多项式的指数函数是有实际的组合意义的。设 \(f(x)\) 是一个大小为 \(i\) 的盒子内部分配方案数的生成函数（即，\([x^i]f(x)\) 表示一个盒子装 \(i\) 个小球的方案数），则 \(\exp f(x)\) 表示 \(i\) 个有标号小球分配到若干个无标号盒子的方案数（即，\([x^i](\exp f(x))\) 表示 \(i\) 个相互区分的小球放到若干个完全一样的盒子的方案数）。这个组合意义与指数函数的幂级数有关系。
这一点的证明要使用指数型生成函数，\(\exp f(x)=\prod \exp{f_ix_i}\)。（用指数型生成函数证明指数函数的组合意义，真是有趣）
欧拉变换
在多项式指数函数中，我们提到了多项式指数函数的组合含义。如果要求无标号小球放到无标号盒子的方案数，我们应该怎么做呢？
令 \(f(x)=\sum\limits_{i=1}^nf_ix^i\)，则我们可以写出所求的生成函数 \(g(f(x))\)
\[g(f(x))=\prod\limits_{i=1}^n\dfrac{1}{(1-x^i)^{f_i}} \]出现了 \(1-x^k\)，对此敏感的我们考虑求出它的对数函数
\[\ln g(f(x))=\sum\limits_{i=1}^nf_i\sum\limits_{j=1}^{+\infty}\dfrac{x^{ij}}{j} \]交换求和顺序
\[\begin{aligned}\ln g(f(x))&=\sum\limits_{i=1}^{+\infty}\dfrac{1}{i}\sum\limits_{j=1}^{n}f_jx^{ij}\\&=\sum\limits_{i=1}^{+\infty}\dfrac{f(x^i)}{i}\end{aligned} \]于是
\[g(f(x))=\exp \sum\limits_{i=1}^{+\infty}\dfrac{f(x^i)}{i} \]我们把 \(g(f(x))\) 称作 \(f(x)\) 的欧拉变换，它的组合含义是无标号小球放到无标号盒子的方案数。我们可以用 \(O(n\log n)\) 的复杂度求一个多项式 \(f(x)\) 的欧拉变换。