正解:期望$dp$

解题报告:

传送门$QwQ$

阿关于题目里那个形如$ab$的子序列我说下,,,我我我之前$get$了好久$QAQ$.这里子序列的个数的定义是这样儿的,举个$eg$,$aabb$,就有4个形如$ab$的子序列.

然后考虑$dp$?设$f_{i,j}$表示前缀中有$i$个$a$,$j$个$ab$的停止后的期望长度?然后为了后面表达方便设$A=\frac{p_a}{p_a+p_b},B=\frac{p_b}{p_a+p_b}$.

不难推出转移方程就$f_{i,j}=f_{i+1,j}\cdot A+f_{i,i+j}\cdot B$,就分别是加了个$a$加了个$b$,还是挺显然的嘛$QwQ$.

像这种显然考虑记搜转移?但是发现有个问题,就会出现一直是$a$然后就死循环下去的局面$QAQ$

但是发现,在$i+j\leq K$的情况下,只要有一个$b$就会停止操作,所以期望长度可以写成$B\cdot \sum\limits_{p=0}^\infty [A^p \cdot (i + j + p)]$

考虑变形?

设$S=\sum\limits_{p=0}^\infty [A^p\cdot (i+j+p)]$

套路地错位相减得

$A\cdot S=\sum\limits_{p=0}^\infty [A^{p+1}\cdot (i+j+p)]$

$(1-A)\cdot S=i+j+\sum\limits_{p=1}^\infty A^p$($umm$没$get$的自己手动拆下式子减下就明白了$QwQ$

$B\cdot S=i+j+\frac{p_a}{p_b}$

然后就做完辣?就记搜地转移,然后如果出现$i+j\leq K$的情况就直接算出$i+j+\frac{p_a}{p_b}$就成?

最后还有一个问题$QwQ$.就如果出现一直是$b$的情况?所以这里初始状态的时候强行先给个$a$就成

$over$