Oja's rule

这俩天看了Oja的俩篇论文，被其中的证明弄得云里雾里，但愿我的理解没有出太大问题吧。

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Oja's rule 知乎

• A Simplified Neuron Model as a Principal Component Analyzer
• On Stochastic Approximation of Eigenvectors and Eigenvalues of the Expectation of a Random Matrix

背景

貌似是关于神经网络，权重的无监督训练的。有趣的是，由这个出发点，可以得到一种关于stream PCA的算法，即Oja's rule。

Hebbian learning

在Hebb的假说中，对于权重的调整为：

\(\bigtriangleup w_i = \eta x_iy\)

where:

\(y = \mathop{\sum}\limits_{j}w_jx_j\)

在stream PCA表述为这样的算法:

\(\widetilde{X}_k = X_{k-1} + A_kX_{k-1}\varGamma_k\)

\(X_k = \widetilde{X}_kR_k^{-1}\)

where:

\(X_k\)就是每一次迭代所得的正交矩阵，\(A_k\)为随机矩阵，在stream PCA里面，一般\(A_k = z_kz_k^{\top} \in \mathbb{R}^{d \times d}\)， \(\varGamma_k\)是一个对角矩阵，每个对角元素表示对应列向量的学习率。\(R_k^{-1}\)怎么说呢，\(X_k=QR\)这个\(QR\)分解，\(R_k^{-1}\)就是\(R\)的逆。

当只需要最大特征值所对应的特征向量的时候:

\(\widetilde{x}_k = x_{k-1} + \gamma_kA_kx_{k-1}\)

\(x_k = \widetilde{x}_k/\|\widetilde{x}_k\|\)

这个式子到底啥含义呢，为什么会这样呢？

Oja给出的分析是（大概是这样）：

\(x_k\)关于\(\gamma_k\)的泰勒展式(只到一次项)是：

\(x_k = x_{k-1} + \gamma_k[A_kx_{k-1}-(x_{k-1}^{\top}A_kx_{k-1})x_{k-1}] + \gamma_kb_k\)

where:

\(b_k = o(\gamma_k)\)这个地方我有个疑问，不知道是我对论文的理解不对还是如何，我觉得如果\(b_k = o(\gamma_k)\)，那么前面就不必再乘上个\(\gamma_k\)了。

还要注意的一点是，上面的推导用到了:\(\|x_{k-1}\|=1\)的条件。

上面的式子还可以有另外一种写法:

\(x_k = x_{k-1} + \gamma_k[Ax_{k-1}-\frac{(x_{k-1}^{\top}Ax_{k-1})}{x_{k-1}^{\top}x_{k-1}}x_{k-1}] +\gamma_k[(A_k-A)x_{k-1}-(x_{k-1}^{\top}(A_k-A)x_{k-1})x_{k-1}] + \gamma_kb_k\)

这个式子只是对上面的加项减项处理，并不难推导。注意，请想象\(E(A_k) = A\)

保留右边前俩项:

\(\bigtriangleup x_k \approx \gamma_k[Ax_{k-1}-\frac{(x_{k-1}^{\top}Ax_{k-1})}{x_{k-1}^{\top}x_{k-1}}x_{k-1}]\)

连续情况下就可以得到形如下面的微分方程:

\(\frac{dz}{dt}=Az-\frac{(z^{\top}Az)}{z^{\top}z}z\)

微分方程的内容我忘得差不多了，这个方程的解法大概是这样的:

\(z := \mathop{\sum}\limits_{i}\eta^{(i)}(t)c_i\)

where:

\(c_i\)是矩阵\(A\)的按特征值由大到小排列的单位特征向量。

这时，上面的微分方程可以分解为\(d\)（论文里纬度是\(n\)）个子微分方程：

\(\frac{d\eta^{(i)}}{dt}=\lambda^{(i)}\eta^{(i)}-\frac{(z^{\top}Az)}{z^{\top}z}\eta^{(i)}\)

令：\(\zeta^{(i)}=\eta^{(i)}/\eta^{(1)}\) (\(\eta^{(1)}(t) \neq \mathbf{0}\)),容易推得（是真的不是假的）:

\(\frac{d\zeta^{(i)}}{dt}=(\lambda^{(i)} - \lambda^{(1)})\zeta^{(i)}\)

可以推得其解为:

\(\zeta^{(i)}(t)=exp[(\lambda^{(i)} - \lambda^{(1)})t]\zeta^{(i)}(0)\)

从这个式子可以看到，只要\(\eta^{(1)} (t)\neq \mathbf{0}\)，那么其他成分，随着时间的增长，会趋于0，所以最后\(z\)会成为\(c_1\)。

上面的算法的内涵就是其线性主部满足这个性质。上面微分方程还有另外一个性质:

\(\|z(0)\|=1\)则\(\|z(t)\|=1,t>0\)(通过求导，导数为0可以验证！)

这也就是说，我们只要保证第一次，后面的大小也可以同样保证。当然，这些条件是在连续情况下推导的，实际在离散的情况下，我们要求\(\gamma_k\)足够小。

主要的一些理论

论文里面一些主要的假设

我不怎么理解的地方是这个unit multiplicity，是特征值是唯一的吗(从证明中看似乎是这样的)？

引理1

引理2

引理3

(7) (8)就是上面的\(x_k\)的迭代算法:

\(\widetilde{x}_k = x_{k-1} + \gamma_kA_kx_{k-1}\)

\(x_k = \widetilde{x}_k/\|\widetilde{x}_k\|\)

定理1

下面Oja开始讨论\(X_k\)的迭代算法:

LEMMA 3（ALL）

（1）（2）是关于\(X_k\)的迭代算法。

引理 4

定理 2

定理 3（关于特征值）

关于\(\sigma\)的迭代算法，即（3）：

\(\sigma_k^{(i)}=(1-\gamma_k)\sigma_{k-1}^{(i)}+\gamma_k(x_{k-1}^{(i)}A_kx_{k-1}^{(i)})\)

Oja's rule

Oja's rule 是对 Hebbian learning 的改进:

可以发现，其实Oja's rule就是取了前面的线性主部。

相应的微分方程变为:

\(\frac{dz}{dt}=Az-(z^{\top}Az)z\)

性质有所欠缺，但是，在一定条件下依然可以保证一些良性。

引理 5（关于\(\gamma_k\)的选择）

定理 3

注意，当推广到求解\(X_k\)的时候有俩种:

(29)的列不一定是相应的特征向量，但列所构成的子空间是一致的！

数值实验

我们先用均匀分布产生一个基础向量x，再在其上添加由标准正态分布所生成噪声，得到一串向量，来模拟数据。

dfv1: Hebbian方法得到的向量与特征向量的cos值

dfv2: Oja方法得到的向量与特征向量的cos值

dfx1: Hebbian方法得到的向量与x的cos值

dfx2: Oja方法得到的向量与x的cos值

dfAx: x与特征向量的cos值

用Oja's rule 大概80次就能到达0.90的水准，与x的差距也不大，有7次比特征向量还要好！而Hebbian learning 大概300次。当然，这可能与我对步长的调整有关系，但是说实话，我已经尽力了。

代码

import numpy as np

def Oja_rule_1(x_old, z, r):  #实际上好像不是Oja's  修正Hebbian learning

    x = x_old + r * np.dot(x_old, z.T.dot(z))

    x = x / np.sqrt(x @ x)

    return x

def Oja_rule_2(x_old, z, r):

    x = x_old + r * (x_old @ (z.T @ z) - x_old @ (z.T @ z) @ x_old * x_old)

    return x

def D2D(x, y): #计算cos值，Oja的论文用的是2范数

    return abs(x @ y)

def Main(d, n):

    x = np.array([np.random.rand() for i in range(d)])

    x = x / np.sqrt(x @ x)

    A = np.array([ x + [np.random.randn() for j in range(d)] for i in range(n)])

   #以上是生成数据

    A_vector = np.linalg.eig(A.T.dot(A))[1][:,0] #数据的主特征向量

    x_new_1 = np.array([np.random.rand() for i in range(d)])

    #print(x_new_1)

    x_new_1 = x_new_1 / np.sqrt(x_new_1 @ x_new_1)

    x_new_2 = x_new_1

    for i in range(n):

        z = A[i,:]

        r1 = np.log(i + 2) / (i + 1) # 按照论文的理解，是不需要加乘上log部分的，可是不加log部分的效果也忒差了

        r2 = 2 / max((3 * z @ z), i + 1)

        z.resize(1,len(z))

        x_new_1 = Oja_rule_1(x_new_1, z, r1)

        x_new_2 = Oja_rule_2(x_new_2, z, r2)

    x_new_2 = x_new_2 / np.sqrt(x_new_2 @ x_new_2)

    dfv1 = D2D(A_vector, x_new_1)

    dfv2 = D2D(A_vector, x_new_2)

    dfx1 = D2D(x, x_new_1)

    dfx2 = D2D(x, x_new_2)

    dfAx = D2D(A_vector, x)

    return dfv1, dfv2, dfx1, dfx2, dfAx

def Summary(times, d, n):

    print('{0:^20} {1:^20} {2:^20} {3:^20} {4:^20}'.format('dfv1', 'dfv2', 'dfx1', 'dfx2', 'dfAx'))

    print('{0:-<20} {0:-<20} {0:-<20} {0:-<20} {0:-<20}'.format(''))

    M = np.array([0.] * 5)

    Better = 0

    for time in range(times):

        result = Main(d, n)

        M += result

        if result[-2] > result[-1]:

            Better += 1

        print('{0[0]:^20.3f} {0[1]:^20.3f} {0[2]:^20.3f} {0[3]:^20.3f} {0[4]:^20.3f}'.format(result))

    print('{0:-<20} {0:-<20} {0:-<20} {0:-<20} {0:-<20}'.format(''))

    print('{0[0]:^20.3f} {0[1]:^20.3f} {0[2]:^20.3f} {0[3]:^20.3f} {0[4]:^20.3f}'.format(M / times))

    print('{0:-<20} {0:-<20} {0:-<20} {0:-<20} {0:-<20}'.format(''))

    print('{0:<10} {1:<10} {2:<10} {3:<10} {4:<10} {5:<10}'.format('Count:', times, 'n:', n, 'd:', d))

    print('{0:<10} {1:<20}'.format('Better:', Better))

Summary(30, 15, 300)