BZOJ_1485_[HNOI2009]有趣的数列_卡特兰数
Description
我们称一个长度为2n的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：
(1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{ai}；
(2)所有的奇数项满足a1<a3<…<a2n-1，所有的偶数项满足a2<a4<…<a2n；
(3)任意相邻的两项a2i-1与a2i(1≤i≤n)满足奇数项小于偶数项，即：a2i-1<a2i。
现在的任务是：对于给定的n，请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案 mod P的值。
Input
输入文件只包含用空格隔开的两个整数n和P。输入数据保证，50%的数据满足n≤1000，100%的数据满足n≤1000000且P≤1000000000。
Output
仅含一个整数，表示不同的长度为2n的有趣的数列个数mod P的值。
Sample Input
3 10
Sample Output
5
对应的5个有趣的数列分别为（1,2,3,4,5,6），（1,2,3,5,4,6），（1,3,2,4,5,6），（1,3,2,5,4,6），（1,4,2,5,3,6）。
发现答案就是卡特兰数的第n项，推导如下：
1~2n中的每个数，如果i这个数放到了新序列的奇数项就往右走一步，如果放到了偶数项就往上走一步。
要求中间的任何时候选的奇数项的个数都大于等于偶数项的个数，走的方案数就是卡特兰数。
Catalan[n]=C[2n][n]/n+1 模数不是质数比较难办。
考虑建一个质数表，把分子的质因子都加进去，再把分母的质因子减去，然后扫一遍数表即可。
时间复杂度O(n/lnn*logn)
代码：
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <math.h>
using namespace std;
#define N 2000050
typedef long long ll;
int n,p,c[N],prime[N],vis[N],cnt;
void init() {
int i,j;
for(i=2;i<=2*n;i++) {
if(!vis[i]) {
prime[++cnt]=i;
}
for(j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=2*n;j++) {
vis[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0) {
break;
}
}
}
}
ll qp(ll x,ll y) {
ll re=1;
while(y) {
if(y&1ll) re=re*x%p;
x=x*x%p;
y>>=1ll;
}
return re;
}
int main() {
scanf("%d%d",&n,&p);
init();
ll i,j;
for(i=1;i<=cnt;i++) {
for(j=prime[i];j>0&&j<=2*n;j*=prime[i]) {
c[i]+=(2*n)/j;
c[i]-=(n/j);
c[i]-=((n+1)/j);
}
}
ll ans=1;
for(i=1;i<=cnt;i++) {
if(c[i]) ans=ans*qp(prime[i],c[i])%p;
}
printf("%lld\n",ans);
}