1485: [HNOI2009]有趣的数列
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Description
我们称一个长度为2n的数列是有趣的,当且仅当该数列满足以下三个条件:
(1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{ai};
(2)所有的奇数项满足a1<a3<…<a2n-1,所有的偶数项满足a2<a4<…<a2n;
(3)任意相邻的两项a2i-1与a2i(1≤i≤n)满足奇数项小于偶数项,即:a2i-1<a2i。
现在的任务是:对于给定的n,请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大,所以只要求输出答案 mod P的值。
Input
输入文件只包含用空格隔开的两个整数n和P。输入数据保证,50%的数据满足n≤1000,100%的数据满足n≤1000000且P≤1000000000。
Output
仅含一个整数,表示不同的长度为2n的有趣的数列个数mod P的值。
Sample Input
3 10
Sample Output
5
对应的5个有趣的数列分别为(1,2,3,4,5,6),(1,2,3,5,4,6),(1,3,2,4,5,6),(1,3,2,5,4,6),(1,4,2,5,3,6)。
HINT
Source
/*
可以把形成序列的过程看成加数的过程,从小到大逐步加(这显然满足限制一),
然后加数的条件一是从小到大依次放奇数位或偶数位,因此也满足限制二,
然后无论何时偶数位上的数一定要大于等于奇数位上的数,这样也满足了限制三,
那么问题就转化成了按照如上条件放数的方案数,联系第二个条件,
也就是无论何时偶数位上的数一定要大于等于奇数位上的数,可以联想到栈,进栈次数一定要大于等于出栈次数,
不妨把放在偶数位上看成进栈,放在奇数位上看成出栈,这样就是求一个出栈的序列,也就是Catalan数列。
由于模数不一定是质数,可以分解质因数求。
*/
#include<bits/stdc++.h> #define ll long long
#define N 2000007 using namespace std;
int n,mod,cnt;
ll pri[N],min_pri[N],num[N],ans=;
bool use[N]; void getpri()
{
for (int i=; i<=*n; i++)
{
if (!use[i]) pri[++cnt]=i,min_pri[i]=cnt;
for (int j=; pri[j]*i<=*n&&j<=cnt; j++)
{
use[pri[j]*i]=,min_pri[pri[j]*i]=j;
if (i%pri[j]==) break;
}
}
} ll ksm(ll a,ll b)
{
ll res=;
while(b){
if(b&) res=res*a%mod;
b>>=;a=a*a%mod;
}return res;
} void add(int x,int opt)
{
while (x!=)
{
num[min_pri[x]]+=opt;
x/=pri[min_pri[x]];
}
} int main()
{
scanf("%d%d",&n,&mod);
getpri();
for (int i=*n; i>n; i--) add(i,);
for (int i=; i<=n+; i++) add(i,-);
for (int i=; i<=cnt; i++) ans=ans*ksm(pri[i],num[i])%mod;
printf("%lld\n",ans);
return ;
}