题目传送门
-------------------稍加观察就会发现,4n - 1就是题目要的答案。至于为什么,看官方的题解。不过这个n非常的大,用正常快速幂解决不了。这道题我学到的就是解决幂非常大的情况。
官方题解传送门
sol1:之前好像做过一道类似的题目,想不出来,在群里看到网友发了一个名词叫十进制快速幂。然后根据这个名字自己意淫通了。一般的快速幂是把幂当成二进制用位运算进行处理。但是字符串不方便进行二进制位运算,不过用同样的方式进行十进制操作就很方便了。如果对二进制快速幂理解够深刻还是很好明白的;
- 十进制快速幂
#include "bits/stdc++.h" using namespace std; const int MAXN = 1e5 + 10; char s[MAXN]; int p; int quick_pow_2(int n, int k) { int ans = 1; while (k) { if (k & 1) ans = 1LL * ans * n % p; n = 1LL * n * n % p; k >>= 1; } return ans; } int quick_pow_10(int n, char* k) { int ans = 1; for (int i = strlen(k) - 1; i >= 0; i--) { ans = 1LL * ans * quick_pow_2(n, k[i] ^ '0') % p; n = quick_pow_2(n, 10); } return ans; } int main() { int t; scanf("%d", &t); while (t--) { scanf("%s%d", s, &p); printf("%d\n", (quick_pow_10(4, s) + p - 1) % p); } return 0; }
sol2:解决这样的问题,更主流的方法还是欧拉降幂,我也是刚学的。看官方题解中的代码不是用十进制快速幂做的,于是学习了一下。原先只知道费马小定理,现在感觉费马小定理就是欧拉降幂的一种特殊情况。原理搞不懂,结论就是:a ^ b % c = a ^ (b % euler(c) + euler(c)) % c。其中euler(c)表示小于c且和c互质的正整数的个数。
- 欧拉降幂
#include "bits/stdc++.h" using namespace std; const int MAXN = 1e5 + 10; char s[MAXN]; int p; int euler(int n) { int ans = n; for (int i = 2; i * i <= n; i++) { if (n % i == 0) { ans = ans / i * (i - 1); while (n % i == 0) n /= i; } } if (n != 1) ans = ans / n * (n - 1); return ans; } int quick_pow(int n, int k) { int ans = 1; while (k) { if (k & 1) ans = 1LL * ans * n % p; n = 1LL * n * n % p; k >>= 1; } return ans; } int main() { int t; scanf("%d", &t); while (t--) { scanf("%s%d", s, &p); int m = euler(p), k = 0; for (int i = 0; s[i]; i++) k = (k * 10LL + s[i] - '0') % m; printf("%d\n", (quick_pow(4, k + m) - 1 + p) % p); } return 0; }