Balanced Search Trees

2022-10-21 19:12:16

平衡搜索树

前面介绍的二叉搜索树在最坏情况下的性能还是很糟糕，而且我们不能控制操作的顺序，有时根本就不是随机的，我们希望找到有更好性能保证的算法。

2-3 search trees

于是先来了解下 2-3 查找树，它可以保证树的平衡性，维护树高在 lgN 级别。这里的 2，3 指的是孩子的数目，图例：

有两个孩子的节点和二叉搜索树一样，节点里有一个键，且大于左子树的键并小于右子树的键。三个孩子的节点里则有两个键，中间孩子的键的大小介于这两个键之间，左右子树一样。

search

查找和二叉查找树一样，虽然现在有的点有两个键，但是也没有什么关系。

查找图例：

insert

插入操作比较关键，解释了为什么可以保证树的平衡性，下面是各种情况的示意：

插入 2-node 时，直接插入把这个节点变成 3-node 即可，上面也没有列出来。插入 3-node 时比较复杂，要先暂时变成 4-node，然后再把三个键中间的键向父母节点转移，问题就又转移到了父母节点上。不难发现，只有在插入路径上全部都是 3-node 时，插入才会让树的高度加一（一路到根节点变成上图情况一）。

而且，上面的操作找到位置后只是改变链接的局部变换，没有数据转移什么的，时间很快，效率挺高。最坏情况下都是 2-node，树高为 lgN，最好情况下都是 3-node，树高为 \(log_{3}N \approx .631 lgN\)，反正树高是对数级别，也就保证了查找和插入对数级别的性能。

但是吧，谈到实现，直接实现太复杂，有好多不同类型的节点，还要进行类型转换，而且需要处理的情况也有很多。实现这些不仅需要大量的代码，而且它们产生的额外开销可能会使算法比标准的二叉查找树更慢。我们希望维护树的平衡，同时也希望保障所需的代码能够越少越好。于是乎，红黑树出现啦！

red-black BSTs

红黑树本质上还是二叉树，关键是在标准二叉查找树的基础上添加了一些信息来表示 3-node：

3-node 里的两个键用左斜的红链接连接，较大的键为根，任意的 2-3 树都有唯一的红黑树与之对应：

在这样的表示下，显然不存在有两条红链接的节点，而且任意从根节点到空链接的路径上的黑链接数都是一样的（perfect black balance），还有注意红链接是左连接，在构建的时候要维护这些性质。

每个节点都只有一条来自父母的链接，我们可以借此表示链接的颜色：

代码：

private static final boolean RED = true;

private static final boolean BLACK = false;

private class Node {

    Key key;

    Value val;

    Node left, right;

    boolean color;    // color of parent link

}

private boolean isRed(Node x) {

    if (x == null) return false;    // null link is black

    return x.color == RED;

}

图例：

红黑树下的查找操作不需要考虑链接的颜色，和二叉查找树一模一样，因为更好的平衡还会快些。

代码：

public Value get(Key key) {

    Node x = root;

    while (x != null) {

        int cmp = key.compareTo(x.key);

        if (cmp < 0) x = x.left;

        else if (cmp > 0) x = x.right;

        else return x.val;

    }

    return null;

}

其它一些只要比较而不会破坏树结构的顺序相关操作也是，直接用原来二叉查找树的代码就好，主要还是看插入操作。

回想 2-3 树的插入操作，实际上都是直接来，性质被破坏了再调整。像 2-node 就直接变成 3-node，而 3-node 会暂时变成 4-node，然后再去调整。红黑树也是这样，新加入一个节点时，都把新链接认为是红色的，不符合性质再调整，像链接不是左斜或是一个节点有两个红链接。

所以，来了解下为了维护性质的调整操作。

Left rotation

左旋，顾名思义就是把红链接从右斜转到左斜。

Right rotation

右旋和左旋相反，这是一个中间状态，有时候需要先右旋再处理才行，下面会见到。

Color flip

颜色转换，甚至不需要改变任何链接，只要改变颜色就好。

虽然红黑树的插入情况看起来好像很多，但是其实可以用下图来概括（最左边的就要先右旋）：

处理也只要统一用下面的代码就好：

private Node put(Node h, Key key, Value val) {

    // insert at bottom(and color it red)

    if (h == null) return new Node(Key, val, RED);

    int cmp = key.compareTo(h.key);

    if (cmp < 0) h.left = put(h.left, key, val);

    else if (cmp > 0) h.right = put(h.right, key, val);

    else h.val = val;

    if (isRed(h.right) && !isRed(h.left)) h = rotateLeft(h);     // lean left

    if (isRed(h.left) && isRed(h.left.left)) h = rorateRight(h); // balance 4-node

    if (isRed(h.left) && isRed(h.right)) flipColors(h);

    return h;

}

最后，再来张构造的示例图感受下：

左边一开始的 S，E，A 会形成再上一张图最左边的情况，先对 S 右旋成最右边情况再转换颜色；接下来的 R 很顺利，而 C 会插到 A 的右边形成右斜红链接，需要左旋；H 的插入到 R 的左孩子，这时 S 的左孩子和左孙子的链接都是红色需要右旋，然后 R 两个孩子链接都是红色，转换颜色，之后 E 的右链接变成红色需要左旋...

性能方面，可以保证操作复杂度都是对数级别，一棵大小为 N 的红黑树的高度不会超过 2lgN（证明不管啦）。然后还有其它操作，像删除（更复杂），请参见：RedBlackBST.java。

B-trees(optional)

B 树是一个非常典型的红黑树的实际应用，是平衡树的泛化，每个节点里可以有很多键。因为通常来说，我们需要存储的数据非常大，找到存储数据所在页的时间要比从页里读取数据慢得多，所以我们希望能尽快定位特定的页。B 树每个节点可以有很多很多键，多到可以放一整页的那种：

根节点至少有两个键，内部结点维护键的副本来指导搜索，实际上键有序存储在外部节点上，节点键的数量在 M/2 到 M-1 之间。

查找老样子，来个例子看下：

插入的时候要注意维护树的平衡性，键数目达到 M 的节点需要分裂并向上调整，例图：

因为完美的平衡性，找到特定页的复杂度在 \(log_{M-1}N\) 和 \(log_{M/2}N\) 之间，实际中一般最多只要四次（M =1024; N = 62 billion; \(log_{M/2} \leqslant 4\)）。

再贴张 B 树成长的示意图（我都截了）：

每一行表示新插入一个键，红色的表示页饱和需要分裂调整。

红黑树被广泛地应用于系统符号表中，Java util 里的 TreeMap 和 TreeSet，C++ STL 里的 map，multimap，multiset 等。

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