二叉搜索树定义
二叉搜索树，是指一棵空树或者具有下列性质的二叉树：
- 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值；
- 若任意节点的右子树不空，则右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值；
- 任意节点的左，右子树也分别为二叉搜索树；
- 没有键值相等的节点。
用Java来表示二叉树
public class BinarySearchTree
{ // 二叉搜索树类
private class Node
{ // 节点类
int data; // 数据域
Node right; // 右子树
Node left; // 左子树
} private Node root; // 树根节点
}
首先，需要一个节点对象的类。这个对象包含数据域和指向节点的两个子节点的引用。
其次，需要一个树对象的类。这个对象包含一个根节点root。
创建树（insert）
public void insert(int key)
{
Node p=new Node(); //待插入的节点
p.data=key; if(root==null)
{
root=p;
}
else
{
Node parent=new Node();
Node current=root;
while(true)
{
parent=current;
if(key>current.data)
{
current=current.right; // 右子树
if(current==null)
{
parent.right=p;
return;
}
}
else //本程序没有做key出现相等情况的处理，暂且假设用户插入的节点值都不同
{
current=current.left; // 左子树
if(current==null)
{
parent.left=p;
return;
}
}
}
}
}
创建树的时候，主要用到了parent，current来记录要插入节点的位置。哪么怎么检验自己是否正确地创建了一颗二叉搜索树呢，我们通过遍历来输出各个节点的值
遍历树（travel）
遍历指的是按照某种特定的次序来访问二叉搜索树中的每个节点，主要有三种遍历的方法：
- 前序遍历，“中左右”
- 中序遍历，“左中右”
- 后续遍历，“左右中”
上面的口诀“中左右”表示的含义是，先访问根节点，再访问左子，最后访问右子。举个例子：
- 前序遍历：39 24 23 30 64 53 60
- 中序遍历：23 24 30 39 53 60 64
- 后序遍历：23 30 24 60 53 64 39
你会发现，按照中序遍历的规则将一个二叉搜索树输入，结果为按照正序排列。
public void preOrder(Node root)
{ // 前序遍历,"中左右"
if (root != null)
{
System.out.print(root.data + " ");
preOrder(root.left);
preOrder(root.right);
}
} public void inOrder(Node root)
{ // 中序遍历,"左中右"
if (root != null)
{
inOrder(root.left);
System.out.print(root.data + " ");
inOrder(root.right);
}
} public void postOrder(Node root)
{ // 后序遍历,"左右中"
if (root != null)
{
postOrder(root.left);
postOrder(root.right);
System.out.print(root.data + " ");
}
} public void traverse(int traverseType)
{ // 选择以何种方式遍历
switch (traverseType)
{
case 1:
System.out.print("preOrder traversal ");
preOrder(root);
System.out.println();
break;
case 2:
System.out.print("inOrder traversal ");
inOrder(root);
System.out.println();
break;
case 3:
System.out.print("postOrder traversal ");
postOrder(root);
System.out.println();
break;
}
}
以上的代码采用递归的方式实现三种遍历，为了方便我们使用，又写了一个traverse函数来实现选择哪种方式进行树的遍历。
这会儿就可以写单元测试了，我们首先创建一个二叉搜索树，然后分别使用“前序”，“中序”，“后序”来遍历输出树的所有节点。
public static void main(String[] args) //unit test
{
BinarySearchTree tree=new BinarySearchTree(); tree.insert(39);
tree.insert(24);
tree.insert(64);
tree.insert(23);
tree.insert(30);
tree.insert(53);
tree.insert(60); tree.traverse(1);
tree.traverse(2);
tree.traverse(3);
}
运行该单元测试，可以看到如下的结果：
查找节点（find）
public Node find(int key)
{ // 从树中按照关键值查找元素
Node current = root;
while (current.data != key)
{
if (key > current.data)
current = current.right;
else
current = current.left;
if (current == null) return null;
}
return current;
} public void show(Node node)
{ //输出节点的数据域
if(node!=null)
System.out.println(node.data);
else
System.out.println("null");
}
查找节点比较简单，如果找到节点则返回该节点，否则返回null。为了方便在控制台输出，我们有添加了一个show函数，用来输出节点的数据域。
删除节点（delete）
删除节点是二叉搜索树中，最复杂的一种操作，但是也不是特别难，我们分类讨论：
- 要删除节点有零个孩子，即叶子节点
如图所示，只需要将parent.left(或者是parent.right)设置为null，然后Java垃圾自动回收机制会自动删除current节点。
- 要删除节点有一个孩子
如图所示，只需要将parent.left(或者是parent.right)设置为curren.right(或者是current.left)即可。
- 要删除节点有两个孩子
这种情况比较复杂，首先我们引入后继节点的概念，如果将一棵二叉树按照中序周游的方式输出，则任一节点的下一个节点就是该节点的后继节点。例如：上图中24的后继节点为25，64的后继节点为70.找到后继节点以后，问题就变得简单了，分为两种情况：
1.后继节点为待删除节点的右子，只需要将curren用successor替换即可，注意处理好current.left和successor.right.
注意：这种情况下，successor一定没有左孩子，一但它有左孩子，哪它必然不是current的后继节点。
2.后继节点为待删除结点的右孩子的左子树，这种情况稍微复杂点，请看动态图片演示。
算法的步骤是：
- successorParent.left=successor.right
- successor.left=current.left
- parent.left=seccessor
弄懂原理后，我们来看具体的代码实现：
private Node getSuccessor(Node delNode) //寻找要删除节点的中序后继结点
{
Node successorParent=delNode;
Node successor=delNode;
Node current=delNode.right; //用来寻找后继结点
while(current!=null)
{
successorParent=successor;
successor=current;
current=current.left;
} //如果后继结点为要删除结点的右子树的左子，需要预先调整一下要删除结点的右子树
if(successor!=delNode.right)
{
successorParent.left=successor.right;
successor.right=delNode.right;
}
return successor;
} public boolean delete(int key) // 删除结点
{
Node current = root;
Node parent = new Node();
boolean isRightChild = true;
while (current.data != key)
{
parent = current;
if (key > current.data)
{
current = current.right;
isRightChild = true;
}
else
{
current = current.left;
isRightChild = false;
}
if (current == null) return false; // 没有找到要删除的结点
}
// 此时current就是要删除的结点,parent为其父结点
// 要删除结点为叶子结点
if (current.right == null && current.left == null)
{
if (current == root)
{
root = null; // 整棵树清空
}
else
{
if (isRightChild)
parent.right = null;
else
parent.left = null;
}
return true;
}
//要删除结点有一个子结点
else if(current.left==null)
{
if(current==root)
root=current.right;
else if(isRightChild)
parent.right=current.right;
else
parent.left=current.right;
return true;
}
else if(current.right==null)
{
if(current==root)
root=current.left;
else if(isRightChild)
parent.right=current.left;
else
parent.left=current.left;
return true;
}
//要删除结点有两个子结点
else
{
Node successor=getSuccessor(current); //找到要删除结点的后继结点 if(current==root)
root=successor;
else if(isRightChild)
parent.right=successor;
else
parent.left=successor; successor.left=current.left;
return true;
}
}
二叉搜索树删除操作
大家注意哪个私有函数getSuccessor的功能，它不仅仅是用来找后继结点的。
总结
二叉搜索树其实不是特别难，理解以后，多练习几次，应该可以掌握。以下是全部的代码：
package org.yahuian; public class BinarySearchTree
{ // 二叉搜索树类
private class Node
{ // 节点类
int data; // 数据域
Node right; // 右子树
Node left; // 左子树
} private Node root; // 树根节点 public void insert(int key)
{
Node p = new Node(); // 待插入的节点
p.data = key; if (root == null)
{
root = p;
}
else
{
Node parent = new Node();
Node current = root;
while (true)
{
parent = current;
if (key > current.data)
{
current = current.right; // 右子树
if (current == null)
{
parent.right = p;
return;
}
}
else // 本程序没有做key出现相等情况的处理，暂且假设用户插入的节点值都不同
{
current = current.left; // 左子树
if (current == null)
{
parent.left = p;
return;
}
}
}
}
} public void preOrder(Node root)
{ // 前序遍历,"中左右"
if (root != null)
{
System.out.print(root.data + " ");
preOrder(root.left);
preOrder(root.right);
}
} public void inOrder(Node root)
{ // 中序遍历,"左中右"
if (root != null)
{
inOrder(root.left);
System.out.print(root.data + " ");
inOrder(root.right);
}
} public void postOrder(Node root)
{ // 后序遍历,"左右中"
if (root != null)
{
postOrder(root.left);
postOrder(root.right);
System.out.print(root.data + " ");
}
} public void traverse(int traverseType)
{ // 选择以何种方式遍历
switch (traverseType)
{
case 1:
System.out.print("preOrder traversal ");
preOrder(root);
System.out.println();
break;
case 2:
System.out.print("inOrder traversal ");
inOrder(root);
System.out.println();
break;
case 3:
System.out.print("postOrder traversal ");
postOrder(root);
System.out.println();
break;
}
} public Node find(int key)
{ // 从树中按照关键值查找元素
Node current = root;
while (current.data != key)
{
if (key > current.data)
current = current.right;
else
current = current.left;
if (current == null) return null;
}
return current;
} public void show(Node node)
{ //输出节点的数据域
if(node!=null)
System.out.println(node.data);
else
System.out.println("null");
} private Node getSuccessor(Node delNode) //寻找要删除节点的中序后继结点
{
Node successorParent=delNode;
Node successor=delNode;
Node current=delNode.right; //用来寻找后继结点
while(current!=null)
{
successorParent=successor;
successor=current;
current=current.left;
} //如果后继结点为要删除结点的右子树的左子，需要预先调整一下要删除结点的右子树
if(successor!=delNode.right)
{
successorParent.left=successor.right;
successor.right=delNode.right;
}
return successor;
} public boolean delete(int key) // 删除结点
{
Node current = root;
Node parent = new Node();
boolean isRightChild = true;
while (current.data != key)
{
parent = current;
if (key > current.data)
{
current = current.right;
isRightChild = true;
}
else
{
current = current.left;
isRightChild = false;
}
if (current == null) return false; // 没有找到要删除的结点
}
// 此时current就是要删除的结点,parent为其父结点
// 要删除结点为叶子结点
if (current.right == null && current.left == null)
{
if (current == root)
{
root = null; // 整棵树清空
}
else
{
if (isRightChild)
parent.right = null;
else
parent.left = null;
}
return true;
}
//要删除结点有一个子结点
else if(current.left==null)
{
if(current==root)
root=current.right;
else if(isRightChild)
parent.right=current.right;
else
parent.left=current.right;
return true;
}
else if(current.right==null)
{
if(current==root)
root=current.left;
else if(isRightChild)
parent.right=current.left;
else
parent.left=current.left;
return true;
}
//要删除结点有两个子结点
else
{
Node successor=getSuccessor(current); //找到要删除结点的后继结点 if(current==root)
root=successor;
else if(isRightChild)
parent.right=successor;
else
parent.left=successor; successor.left=current.left;
return true;
}
} public static void main(String[] args) // unit test
{
BinarySearchTree tree = new BinarySearchTree(); tree.insert(39);
tree.insert(24);
tree.insert(64);
tree.insert(23);
tree.insert(30);
tree.insert(53);
tree.insert(60); tree.traverse(1);
tree.traverse(2);
tree.traverse(3); tree.show(tree.find(23));
tree.show(tree.find(60));
tree.show(tree.find(64)); tree.delete(23);
tree.delete(60);
tree.delete(64); tree.show(tree.find(23));
tree.show(tree.find(60));
tree.show(tree.find(64));
}
}
二叉搜索树详解
动态图片来自于：https://visualgo.net/en/bst