[Jsoi2009]瓶子和燃料
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Description
jyy就一直想着尽快回地球,可惜他飞船的燃料不够了。
有一天他又去向火星人要燃料,这次火星人答应了,要jyy用飞船上的瓶子来换。jyy
的飞船上共有 N个瓶子(1<=N<=1000) ,经过协商,火星人只要其中的K 个 。 jyy
将 K个瓶子交给火星人之后,火星人用它们装一些燃料给 jyy。所有的瓶子都没有刻度,只
在瓶口标注了容量,第i个瓶子的容量为Vi(Vi 为整数,并且满足1<=Vi<=1000000000 ) 。
火星人比较吝啬,他们并不会把所有的瓶子都装满燃料。他们拿到瓶子后,会跑到燃料
库里鼓捣一通,弄出一小点燃料来交差。jyy当然知道他们会来这一手,于是事先了解了火
星人鼓捣的具体内容。火星人在燃料库里只会做如下的3种操作:1、将某个瓶子装满燃料;
2、将某个瓶子中的燃料全部倒回燃料库;3、将燃料从瓶子a倒向瓶子b,直到瓶子b满
或者瓶子a空。燃料倾倒过程中的损耗可以忽略。火星人拿出的燃料,当然是这些操作能
得到的最小正体积。
jyy知道,对于不同的瓶子组合,火星人可能会*给出不同体积的燃料。jyy希望找
到最优的瓶子组合,使得火星人给出尽量多的燃料。
Input
第1行:2个整数N,K,
第2..N 行:每行1个整数,第i+1 行的整数为Vi
Output
仅1行,一个整数,表示火星人给出燃料的最大值。
Sample Input
3
4
4
Sample Output
HINT
选择第2 个瓶子和第 个瓶子,火星人*会给出4 体积的容量。
题解:可以这样证明,设交出去的k个数的最大公约数是d
那么每个数对应的是ad,bd,cd...nd之类的数,相减,相加,最小得到的就是d,但是为什么d是最小的呢?
对于ad,bd 设其最终的贡献(即倒入-倒出)分别为 s和t,
那么如果 s*a*d+t*b*d=d 有解的话,可以证明d就是最后结果,因为d已经是最小的。
转化为 s*a+t*b=1 有解,因为a和b已经除去最大公约数,所以gcd(a,b)=1
因此,模线性方程组有正整数解s,t,所以可以证明d为最小值,
因为要求最小值的最大值,那么只需要找一个公约数>=k(出现次数),中最大的就是结果了。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std; int n,k,cnt,ans;
int a[]; void gx(int x)
{
for(int i=;i<=sqrt(x);i++)
if(x%i==)
{
a[++cnt]=i;
if(i!=x/i) a[++cnt]=x/i;
}
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&k);
int x;
for(int i=;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&x);
gx(x);
}
sort(a+,a+cnt+);
int tmp=;
for(int i=cnt;i>;i--)
{
if(a[i]==a[i+])tmp++;
else
{
if(tmp>=k)
{
printf("%d",a[i+]);
return ;
}
tmp=;
}
}
}