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前言
本文将介绍一、二阶线性差分方程的常见形式和基本解法。
一、差分方程的解
1.定义
若把一个函数\(y_t=f(t)\)代入差分方程中，使其成为恒等式，则称\(y_t=f(t)\)为差分方程的解。
2.特解与通解
通解：含有任意常数的个数与差分方程的阶数一致的解。
特解：给任意常数以确定值的解。
3.初始条件
用以确定通解中任意常数的条件称为初始条件。
一阶差分方程有一个初始条件\(y_0=a_0\)，二阶有两个，以此类推。
二、基本定理
以二阶差分方程为例，其它阶同理。
1.一般形式
其中\(a(t),b(t),f(t)\)均为\(t\)的已知函数且\(b(t)\neq0\)
2.定理一
若\(y_1(t),y_2(t)\)是二阶齐次线性差分方程的解，则\(C_1y_1(t)+C_2y_2(t)\)也是该二阶齐次方程的解，其中\(C_1,C_2\)是任意常数。
3.定理二
若\(y_1(t),y_2(t)\)是二阶齐次线性差分方程的线性无关特解，则
是该方程的通解，其中\(C_1,C_2\)是任意常数。
3.定理三
若\(y^*(t)\)是二阶非齐次线性差分方程的特解，\(y_C(t)\)是对应齐次线性差分方程的通解，则非齐次线性差分方程的通解为
4.定理四
若函数\(y_1^*(t),y_2^*(t)\)分别是二阶非齐次线性差分方程:
则 \(y_1^*(t)+y_2^*(t)\)是二阶非齐次线性差分方程
三、一阶线性差分方程
1.齐次
(1)一般形式
(2)解法
很明显，这是个等比数列，所以容易得出一个特解
通解为
这里再引入特征方程的概念，以便解决更高阶的问题。
对于一阶齐次/非齐次方程，称一次代数式
为差分方程的特征方程；特征方程的根为特征值或特征根。
2.非齐次
情形一
其中\(P_m(t)\)是形如
的\(m\)次多项式，
是已知常数。
（1）\(\rho\)不是特征根
特定解的形式为
这里的\(Q_m(t)\)是系数待定的\(m\)次多项式，将其带入差分方程中可解得特解。
由定理三可解出非齐次方程的通解。
（2）\(\rho\)是特征根
特定解的形式为
同理
情形二
令
（1）\(\delta\)不是特征根
待定特解形式为
（1）\(\delta\)是特征根
待定特解形式为
四、二阶线性差分方程
1.齐次
(1)一般形式
(2)解法
特征方程有相异实根\(\lambda_1,\lambda_2\)，通解为
特征方程有同根\(\lambda_1,\lambda_2\)，易知\(\lambda_1=\lambda_2=-\frac{a}{2}\)，有一个特解\((-\frac{a}{2})^t\)，通过验证可知\(t(-\frac{a}{2})^t\)也是一个解，于是通解为
特征方程有共轭副根\(\alpha\pm i\beta\)，\(\alpha=-\frac{2}{a},\beta=\sqrt{b-\frac{a^2}{4}}\)，则有两个特解
通解为
2.非齐次
与一阶同理