一阶常系数线性差分方程通解求法

最近遇到要求解此类差分方程的问题,查阅了相关资料,进行了完善并记录下来

求一阶常系数齐次线性差分方程的通解#
一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式为 yn+1?ayn=0,(a≠0)

迭代法#
给定初始值为 y0 ,则 y1=ay0,y2=ay1=a2y0,y3=ay2=a(a2y0)=a3y0,…,yn=any0

其中初始值 y0 为常数,令 y0=C , 则通解可表示为 Yn=Can

当存在某一个 yx 已知时,将其代入通解,可以求得 C

特征根法#
将原方程变形 yn+1?ayn=0,(a≠0)?yn+1?yn+(1?a)yn=0?Δyn+(1?a)yn=0,(a≠0)

根据 Δλn=(λ?1)n 可以看出 yn 的形式一定为某一指数函数

设 yn=λn(λ≠0) ,代入原方程得 λn+1?aλn=0 ,即 λ?a=0?λ=a

于是 yn=an 是原方程的一个解,从而 yn=Can 是原方程的通解

举例#
【例1】求 yn+1?yn=0 的通解

【解】特征方程为 λ?1=0 ,解得特征根为 λ=1 ,所以原方程的通解为 Yn=C

【例2】求 yn+1?2yn=0 的通解

【解】特征方程为 λ?2=0 ,解得特征根为 λ=2 ,所以原方程的通解为 Yn=C?2n

【例3】已知 y0=1 ,求 yn+1+yn=0 的通解

【解】特征方程为 λ+1=0 ,解得特征根为 λ=?1 ,所以原方程的通解为 Yn=C(?1)n

将 y0=1 代入,得到 1=C(?1)0?C=1 ,所以原方程的通解为 Yn=(?1)n

求一阶常系数非齐次线性差分方程的通解#
一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式为 yn+1?ayn=f(n),(a≠0)

当 f(n)=0 时,方程为 yn+1?ayn=0 ,称它为原方程对应的齐次方程

一阶常系数非齐次线性差分方程的通解为对应的齐次方程通解 Yn 与原方程的特解 y?n 之和,即 yn=Yn+y?n

当 f(n) 为某些特殊类型的函数时,采用待定系数法求其特解 y?n 较为方便

右端函数为m阶多项式类型#
原方程变形为 Δyn+(1?a)yn=f(n),(a≠0)

由于 f(n) 为多项式,因此 y?n 也应该是多项式

当 a≠1 时,令 y?n=θ0nm+θ1nm?1+?+θm

当 a=1 时,令 y?n=n(θ0nm+θ1nm?1+?+θm)

举例#
【例1】求 yn+1?yn=n2 的通解

【解】对应的齐次方程为 yn+1?yn=0 ,特征方程为 λ?1=0 ,特征根为 λ=1 ,齐次方程的通解为 Yn=C

设原方程的特结为 y?n=an3+bn2+cn ,代入原方程得 a(n+1)3+b(n+1)2+c(n+1)?an3?bn2?cn=n2

原方程要恒成立,用待定系数法得到 a=13,b=12,c=16

所以原方程的通解为 yn=13n3+12n2+16n+C

右端函数为指数函数与m阶多项式相乘#
设原方程为 yn+1?ayn=μnPm(n),(a≠0)

当 μ=0,1 时,属于上面一种情况

当 μ≠0,1 时,设 yn=μn?zn

代入原方程得 μn+1zn+1?aμnzn=μnPm(n)

消去 μn ,得 μzn+1?azn=Pm(n) ,就成为了上面一种类型,于是 y?n=μn?z?n

一阶常系数线性差分方程通解求法

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