[AHOI2008]紧急集合 / 聚会
题目描述
欢乐岛上有个非常好玩的游戏，叫做“紧急集合”。在岛上分散有N个等待点，有N-1条道路连接着它们，每一条道路都连接某两个等待点，且通过这些道路可以走遍所有的等待点，通过道路从一个点到另一个点要花费一个游戏币。
参加游戏的人三人一组，开始的时候，所有人员均任意分散在各个等待点上（每个点同时允许多个人等待），每个人均带有足够多的游戏币（用于支付使用道路的花费）、地图（标明等待点之间道路连接的情况）以及对话机（用于和同组的成员联系）。当集合号吹响后，每组成员之间迅速联系，了解到自己组所有成员所在的等待点后，迅速在N个等待点中确定一个集结点，组内所有成员将在该集合点集合，集合所用花费最少的组将是游戏的赢家。
小可可和他的朋友邀请你一起参加这个游戏，由你来选择集合点，聪明的你能够完成这个任务，帮助小可可赢得游戏吗？
输入输出格式
输入格式：
第一行两个正整数N和M（N<=500000，M<=500000），之间用一个空格隔开。分别表示等待点的个数（等待点也从1到N进行编号）和获奖所需要完成集合的次数。 随后有N-1行，每行用两个正整数A和B，之间用一个空格隔开，表示编号为A和编号为B的等待点之间有一条路。 接着还有M行，每行用三个正整数表示某次集合前小可可、小可可的朋友以及你所在等待点的编号。
输出格式：
一共有M行，每行两个数P,C，用一个空格隔开。其中第i行表示第i次集合点选择在编号为P的等待点，集合总共的花费是C个游戏币。
输入输出样例
输入样例#1：
6 4
1 2
2 3
2 4
4 5
5 6
4 5 6
6 3 1
2 4 4
6 6 6
输出样例#1：
5 2
2 5
4 1
6 0
说明
提示：
40%的数据中N<=2000，M<=2000
100%的数据中，N<=500000，M<=500000
对于树上路径的问题，常常可以用\(LCA\)来解决。但是这道题有三个点，直接找三个点的\(LCA\)显然是错误的（推完样例即可发现）。自己在做的时候直接瞎猜，集结点应该是三个\(LCA\)之中的一个，结果公式写错。。。。
正确思路
转自Chen's Blog
这里，我们首先可以显而易见的发现，这个点必须在三个点互相通达的路径上。
我们再思考一下 \(LCA\) 与路径和的关系。假设我们知道 \(a\) 和 \(b\) 的 \(LCA\) 是 \(x\) ，而且 \(x\) 是上述的3个 \(LCA\) 中深度最大的那个，那么可以发现从 \(x\) 到 \(a\) 的距离加上从 \(x\) 到 \(b\) 的距离一定是最小的。根据上面的结论，我们知道 \(a\) ， \(c\) 和 \(b\) ， \(c\) 的 \(LCA\)点 \(y\) 一定在一个点上，而且这个 \(y\) 一定比 \(x\) 深度小。
那么这个时候，我们会发现此时 \(a\) ， \(b\) ， \(c\) 到 \(x\) 的距离和是最小的。证明的话可以这么想：如果 \(x'\) 比 \(x\) 高，那么虽然 \(c\) 到 \(x\)的距离减小了 \(w\) ，但是 \(a\) ， \(b\) 到 \(x'\) 的距离均增大了 \(w\) ，显然距离和增大。如果 \(x'\) 比 \(x\) 低，有一个节点到 \(x'\) 的距离减小了 \(w\) ，剩下两个节点到 \(x'\) 的距离均增大了 \(w\) ，显然距离和也增大。
所以我们就找到了到三个点距离和最小的点：这三个点的三对 \(LCA\) 中，深度大的那两个\(LCA\)就是答案。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int read()
{
int x=0,w=1;char ch=getchar();
while(ch>'9'||ch<'0') {if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
return x*w;
}
const int N=500010;
int n,m,cnt,x,y,z,s,t,lca,lca1,lca2,lca3,ans,pos;
int head[N],deep[N],f[N][21];
struct node{
int to,next;
}edge[2*N];
void add(int x,int y)
{
cnt++;edge[cnt].to=y;edge[cnt].next=head[x];head[x]=cnt;
}
void dfs(int k,int fa)
{
for(int i=head[k];i;i=edge[i].next)
{
int v=edge[i].to;if(v==fa)continue;
f[v][0]=k;deep[v]=deep[k]+1;dfs(v,k);
}
}
void init()
{
for(int i=1;i<=20;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
f[j][i]=f[f[j][i-1]][i-1];
}
int LCA(int x,int y)
{
if(deep[x]<deep[y]) swap(x,y);
for(int i=20;i>=0;i--)
if(deep[f[x][i]]>=deep[y]) x=f[x][i];
if(x==y)return x;
for(int i=20;i>=0;i--)
if(f[x][i]!=f[y][i])x=f[x][i],y=f[y][i];
return f[x][0];
}
int main()
{
n=read();m=read();
for(int i=1;i<n;i++)
{
x=read();y=read();
add(x,y);add(y,x);
}
deep[1]=1;dfs(1,0);init();
for(int i=1;i<=m;i++)
{
x=read();y=read();z=read();ans=2000000000;
lca1=LCA(x,y);lca2=LCA(x,z);lca3=LCA(y,z);
if(lca1==lca2) pos=lca3;
else if(lca2==lca3) pos=lca1;
else pos=lca2;
printf("%d %d\n",pos,deep[x]+deep[y]+deep[z]-deep[lca1]-deep[lca2]-deep[lca3]);
}
}