题目大意

有 n n n个人比赛,每个人有 a , b a,b a,b两个能力值。

比赛由你组织,你可以任意挑选两个人,并且挑选他们任意的能力值来让他们比赛。能力值大的一方将会胜出,而输掉的那个人将会被淘汰。(也就是说,经过 n − 1 n-1 n−1次比赛后,将会决出胜者)。每个人的 a a a能力值各不相同, b b b能力值各不相同。

现在请问,每个人是否有可能可以胜出呢？可以输出 1 1 1，不可以输出 0 0 0。

原题地址

分析

我们容易想到这么一种情况, x x x的 a , b a,b a,b能力值都不是很高,但是有个 y y y,它的能力值一个非常高,一个非常低,且刚好低于 x x x相对较高的能力值。

那么我们可以先让 y y y用高的能力值把其它所有人都打败,然后在让 x x x用较高的能力值打败用低能力值的 y y y。(偷偷吃鸡是吧)

当然也有可能 x x x实在是太菜了,以至于它连 y y y的低能力值也打不过。

思路

我们再往下分析,假设 x x x能打败 y y y,那么 x x x能“打败”的最高对手就是{ x , y x,y x,y}中能力值最高的人能打败的对手,并且这种关系是可以传递的。比如又来了一个 z z z,它可以被 y y y击败,尽管 x x x可能打不过 z z z,但是凭借 y y y,那么 x x x依然有可能是冠军。

但是同时处理 a , b a,b a,b两种能力值有些困难,所以我们不妨先按照 a a a能力值大小升序排序,那么在后面的人始终可以凭借 a a a能力值去击败前面的。

首先 a a a能力值最高的人是肯定可以胜出的,所以我们从后往前,依次判断这个人是否可能胜出。

如果这个人可以“击败”的人中能力的最大值大于 a a a能力最高的人的能力最低值,那么他也可以“胜出”。

那么前面的人就只能靠 b b b能力值去击败后面的人,注意我们不是要真正的打败后面的,而是胜出,即利用我们前面说的传递关系。

下面就是解决本题的最重要的结论:

• 假如第 n − 1 n-1 n−1个人可以胜出,那么第 n − 2 n-2 n−2个人才有可能胜出。因为第 n − 1 n-1 n−1个人可以击败除了第 n n n个人之外的所有人,并且利用它们的能力值,也无法击败第 n n n个人,那么第 n − 2 n-2 n−2个人也铁定无法击败 n n n

• 如果 n − 1 , n − 2 n-1,n-2 n−1,n−2都可以胜出,那么 n − 3 n-3 n−3只需要击败 n , n − 1 , n − 2 n,n-1,n-2 n,n−1,n−2中任意一个人,就能够胜出。
  证明:
  假设击败的这个人是 x x x,那么 x x x胜出时,要么是利用了 n − 3 n-3 n−3击败了其他人,要么没有利用 n − 3 n-3 n−3

  • 利用了 n − 3 n-3 n−3,说明 n − 3 n-3 n−3本来就可以胜出,那么本身就可以胜出
  • 没有利用 n − 3 n-3 n−3,那么我们可以先让 x x x把其它所有人都“击败”,然后再让 n − 3 n-3 n−3把 x x x击败

做法

按照 a a a能力值排序后,

我们用 s [ i ] [ 0 ] s[i][0] s[i][0]记录前 i i i个人中 b b b能力值的最大值, s [ i ] [ 1 ] s[i][1] s[i][1]记录 i i i~ n n n个人中 b b b能力值的最小值。

从后往前判断:

如果 s [ i ] [ 1 ] ≤ s [ i − 1 ] [ 0 ] s[i][1] \le s[i-1][0] s[i][1]≤s[i−1][0],表明第 i − 1 i-1 i−1个人可以利用前面 b b b能力值最大的人去击败 i i i~ n n n中 b b b能力值最小的那个人,所以可以胜出

而如果 s [ i ] [ 1 ] > s [ i − 1 ] [ 0 ] s[i][1] > s[i-1][0] s[i][1]>s[i−1][0],表明 i − 1 i-1 i−1无法利用前面的人去击败任何一个后面的人,那么 1 1 1 到 i − 1 i-1 i−1中的人也就无法胜出。

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxN = 1e6 + 7;
const long long INF = 0x7f7f7f7f;

int T, n, ans[maxN];
long long s[maxN][2];

struct Num {
    long long x, y;
    int id;
}a[maxN];

bool cmp(Num a, Num b)
{
    return a.x < b.x;
}

int main()
{
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        scanf("%d", &n);
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
            a[i].id = i;
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
            scanf("%lld", &a[i].x);
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
            scanf("%lld", &a[i].y);
        sort(a + 1, a + 1 + n, cmp);
        int pos = 0;
        s[n + 1][1] = INF;
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
            s[i][0] = max(s[i - 1][0], a[i].y);
        for(int i = n; i >= 1; --i)
            s[i][1] = min(s[i + 1][1], a[i].y);
        for(int i = n; i >= 1; --i)
            if(s[i][1] > s[i - 1][0]) {
                pos = i;
                break;
            }
        for(int i = 1; i < pos; ++i)
            ans[a[i].id] = 0;
        for(int i = pos; i <= n; ++i)  
            ans[a[i].id] = 1;
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
            printf("%d", ans[i]);
        printf("\n");
    }
}