考研数学的知识点整理:1.极限

差不多学习了一年,离考试也不远了,考前抽一天时间整理一下所有的知识点和题型,也就相当于复习了。

第一章:极限

  极限,简单地来说就是无限地趋近一个值(但并不是真的等于这个值),而永远处在接近这个值的趋势上,永远靠近,永不停止。

  从书上的定义看,如果对任何ε>0,总存在自然数N,使得当n>N时,不等式|xn-x|<ε恒成立。   这个定义在实际中也会出题考察。

 

  lim(x->1)  x2-1/x-1 =2。 这个函数在x=1处不存在,但x->1时极限存在,并且为2。直接算当然算不了,但是可以转化为x+1,也就是2.

  判定极限存在充要条件:左右极限各自存在且相等。    在很多时候,两侧极限的计算方法是不一样的,因此左右相等是有意义的。

  极限不存在:左右极限不存在/不相等,或者极限无穷大。

 

  极限的一些性质:

    1.唯一性。 如果一个数列的极限存在,那么它的极限值唯一,而且他的子串也都是这个极限值。

    2.保号性。在这里先引入一个去心邻域的概念:去心领域,就是去掉了中心点,但包含其左右的一个范围。 保号性的含义,就是指自变量在趋近一个值时,肯定能找到一个去心邻域,在这个范围内的值同号。

  这里放一个例题:f'(0)=1,  lim(x->1)  f'(x)/(x-1)3=2,求x=1?

   解: 在这道题中, f'(x)/(x-1)3=2)>0. 

  所以,存在某个值ξ>0,使得  0<|x-1|<ξ,即在这个去心领域内时,f'(x)/(x-1)3也是大于0的。

  当x在(1-ξ,1)时即左半邻域时,x-1<0,分母小于0,那么分子f'(x)<0。同样,x在右半邻域时,f'(x)>0。因此,f(x)在x=1处取到了最小值。

 

  保号性的更深层的理解:不管是数列极限还是函数极限。假设lim(x->x0)=A.    要注意函数和极限二者的对应关系。

1)若A>0,则存在ξ>0,使得0<|x|<ξ内,f(x)>0。  符号取反亦然。           即:极限>0可推原函数>0; 

2) 若存在ξ>0,使得0<|x|<ξ内,f(x)>0或≥0,则A≥0 。符号取反亦然。                                即:函数>0或者≥0,可推极限≥0。

    3。收敛必有界,有界不一定收敛,比如(-1)n+1有界但不收敛。

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  做极限的几种常用方法:

  1.洛必达法则,洛必达法则是一个比较特殊的用法。它用在分式中,洛必达法则的使用有几个规则:

    1)分子和分母要同趋于0或者同趋于无穷大;

    2)在这一点处分子分母都要可导;

    3)求导以后,极限存在,则就是答案;极限不存在,说明不能用洛必达法则;如果上下都还是不定式,那可以考虑继续用。

注意:洛必达法则是分子分母分别求导。不是分式求导法则(u/v)'!

 

特别注意:洛必达法则还有一个隐藏规则:只能用在分子/分母是乘除的运算中。事实上有时候加减也能用,但是不好把握的人最好不要用。具体什么时候能用,要参考泰勒公式

 

  2.等价无穷小的替换

    无穷小的性质这里就不赘述了,记得无穷小加减/相乘/数乘也都是无穷小。  常用的等价无穷小:

  x->0时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ex-1~ln(1+x)    1-cosx~1/2 x2    (1+bx)a-1~abx

     如果题中有感觉可以用但是不够,可以自己+1 -1凑形式。       

    重要极限:lim  (1+x) 1/x  =e

注意,这些都是x趋于0时采用的,如果有需要,想办法代换成趋于0即可。

  3.泰勒展开

  4.夹逼定理

  5.单调有界的数列必有极限

 

极限题型(不定型类)的解法思路:0/0型:洛必达,泰勒展开都行

        ∞/∞型:利用“抓大放小”,只看x最高阶

                          0/∞型:转化成上面两种就行

                      ∞-∞型:这种情况,有分母的话就通分,没有分母就直接有理化,变成分式。

                    1型:利用lim  (1+x) 1/x=e这个重要极限。

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在这里多提一句,泰勒公式真的是一个非常神奇的公式,它的本质是用一组多项式的和,去无限趋近于一个函数的某点;在现实中有很多用法,比如计算器就采用泰勒展开来计算sinx。而洛必达法则,从某种意义上来说,其实就是把分子和分母分别泰勒展开,第一次只比首项大小,首项一样大就去掉(再用洛必达)比第二项。。。如此往复直到算出结果。因此在有些加减的情况下也能算。

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在实际做题的时候有时候会做到一种迷糊的状态:上面的这些用法,都是针对不定型使用的。但如果一个极限直接就能算出来,那就直接算出来就好了。比如lim(x->0)  cosx,这种根本就不用这些方法,直接就能看出来是1。考试的时候也最好不要犯迷糊。

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