1 函数

1.1 函数的定义

  设 x x x 和 y y y 是两个变量， D D D 是一个给定的数集，如果对于每个数 x ∈ D x∈D x∈D，变量 x x x 按照一定的法则总有一个确定的数值 y y y 与之对应，则称变量 y y y 是变量 x x x 的函数，记为

y = f ( x ) , x ∈ D y = f(x), x∈D y=f(x),x∈D

  其中 x x x 称为自变量， y y y 称为因变量， D D D 称为函数的定义域，记作 D f D_f Df​，即 D f = D D_f = D Df​=D。
  函数值 f ( x ) f(x) f(x) 的全体所构成的集合称为函数 f f f 的值域，记作 R f R_f Rf​ 或 f ( D ) f(D) f(D)，即

R f = f ( D ) = { y ∣ y = f ( x ) , x ∈ D } R_f = f(D) = \{y | y = f(x), x∈D\} Rf​=f(D)={y∣y=f(x),x∈D}

（高等数学 第七版 上册 P3）

【注】函数概念有两个基本要素：定义域、对应规则（或称依赖关系），当两个函数的定义域与对应规则完全相同时，它们就是同一函数。

1.2 分段函数

  在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数，通常称为分段函数。

【注】分段函数是一个函数，不能认为每一段是一个函数，也不是多个函数。

  常见的几种分段函数：

  绝对值函数

y = ∣ x ∣ = { − x , x < 0 x , x ≥ 0 y = |x| = \begin{cases} -x, & x<0 \\ x, & x\geq0 \end{cases} y=∣x∣={−x,x,​x<0x≥0​

  定义域为 D = ( − ∞ , + ∞ ) D = (-\infty, +\infty) D=(−∞,+∞) ，值域 R f = [ 0 , + ∞ ) R_f = [0, +\infty) Rf​=[0,+∞)，这函数称为绝对值函数。

  符号函数

y = s g n   x = { − 1 , x < 0 0 , x = 0 1 , x > 0 y = sgn \ x = \begin{cases} -1, & x<0 \\ 0, & x=0 \\ 1, & x>0 \end{cases} y=sgn x=⎩⎪⎨⎪⎧​−1,0,1,​x<0x=0x>0​

  定义域为 D = ( − ∞ , + ∞ ) D = (-\infty, +\infty) D=(−∞,+∞) ，值域 R f = { − 1 , 0 , 1 } R_f = \{-1, 0, 1\} Rf​={−1,0,1}，这函数称为符号函数。对于任何实数 x x x，下列关系成立：

x = s g n x ⋅ ∣ x ∣ x = sgnx · |x| x=sgnx⋅∣x∣

  取整函数

y = [ x ] y = [x] y=[x]

  设 x x x 为任一实数，不超过 x x x 的最大整数称为 x x x 的整数部分，记作 [ x ] [x] [x] 。定义域为 D = ( − ∞ , + ∞ ) D = (-\infty, +\infty) D=(−∞,+∞) ，值域 R f = Z R_f = Z Rf​=Z，图形称为阶梯曲线，函数称为取整函数。

（高等数学 第七版 上册 P5）

【注】取整函数的基本不等式： x − 1 < [ x ] ≤ x x-1 < [x] \leq x x−1<[x]≤x 。

（未完待续）

附录

考试内容

• 函数的概念及表示法
• 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性
• 复合函数、反函数、分段函数和隐函数
• 基本初等函数的性质及其图形
• 初等函数
• 函数关系的建立
• 数列极限与函数极限的定义及其性质
• 函数的左极限和右极限
• 无穷小量和无穷大量的概念及其关系
• 无穷小量的性质及无穷小量的比较
• 极限的四则运算
• 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则
• 两个重要极限：
  lim ⁡ x → 0 sin ⁡ x x = 1 , lim ⁡ x → + ∞ ( 1 + 1 x ) x = e \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 1,\displaystyle\lim_{x \rightarrow + \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e x→0lim​xsinx​=1,x→+∞lim​(1+x1​)x=e
• 函数连续的概念
• 函数同断点的类型
• 初等函数的连续性
• 闭区间上连续
• 函数的性质

考试要求

1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.

2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.

3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.

4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.

5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左
极限、右极限之间的关系.

6.掌握极限的性质及四则运算法则.

7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限
求极限的方法.

8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无
穷小量求极限.

9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型.

10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质.