频次： 1
出处： 2009-16、
知识树位置：
- 无穷级数
-
常数项级数
- 正项级数
- 交错级数
- 任意项级数
- 幂级数
-
常数项级数
知识点内容：
定义
设
{
u
n
}
\{u_n\}
{un} 是一数列，则表达式
∑
n
=
1
∞
u
n
=
u
1
+
u
2
+
⋯
+
u
n
+
⋯
\sum_{n=1}^{\infin}u_n=u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots
n=1∑∞un=u1+u2+⋯+un+⋯
称为无穷级数，简称级数。
s
n
=
∑
i
=
1
n
u
i
s_n=\sum_{i=1}^nu_i
sn=i=1∑nui
称为级数的部分和。
若部分和数列
{
s
n
}
\{s_n\}
{sn} 有极限
s
s
s，即
lim
n
→
∞
s
n
=
s
\lim\limits_{n\to\infin}s_n=s
n→∞limsn=s，则称级数
∑
n
=
1
∞
u
n
\displaystyle\sum_{n=1}^\infin u_n
n=1∑∞un 收敛，并称极限值
s
s
s 为级数
∑
n
=
1
∞
u
n
\displaystyle\sum_{n=1}^\infin u_n
n=1∑∞un 的和，记为
∑
n
=
1
∞
u
n
=
s
\sum_{n=1}^\infin u_n=s
n=1∑∞un=s
当 { u n } \{u_n\} {un} 为常数（项）的数列时，则称为常数项级数
题目集：
【2009-16】
设
a
n
a_n
an 为曲线
y
=
x
n
y=x^n
y=xn 与
y
=
x
n
+
1
(
n
=
1
,
2
,
.
.
.
)
y=x^{n+1}(n=1,2,...)
y=xn+1(n=1,2,...) 所围成区域的面积，记
S
1
=
∑
n
=
1
∞
a
n
，
S
2
=
∑
n
=
1
∞
a
2
n
−
1
S_1=\sum_{n=1}^{\infin}a_n，S_2=\sum_{n=1}^{\infin}a_{2n-1}
S1=n=1∑∞an，S2=n=1∑∞a2n−1
求 S 1 、 S 2 S_1、S_2 S1、S2 的值.
解：
由幂函数性质一节得
a
n
=
1
n
+
1
−
1
n
+
2
a_n=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}
an=n+11−n+21
∴
\therefore
∴
S
1
=
∑
n
=
1
∞
a
n
=
lim
N
→
∞
∑
n
=
1
N
a
n
=
lim
N
→
∞
(
1
2
−
1
3
+
⋯
+
1
N
+
1
−
1
N
+
2
)
=
lim
N
→
∞
(
1
2
−
1
N
+
2
)
=
1
2
S_1=\sum_{n=1}^\infin a_n=\lim_{N\to\infin}\sum_{n=1}^N a_n =\lim_{N\to\infin}\Big(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{N+1}-\dfrac{1}{N+2}\Big)=\lim_{N\to\infin}\Big(\frac{1}{2}-\dfrac{1}{N+2}\Big)=\frac{1}{2}
S1=n=1∑∞an=N→∞limn=1∑Nan=N→∞lim(21−31+⋯+N+11−N+21)=N→∞lim(21−N+21)=21
S 2 = ∑ n = 1 ∞ a 2 n − 1 = ∑ n = 1 ∞ ( 1 2 n − 1 2 n + 1 ) = 1 2 − 1 3 + 1 4 − 1 5 + 1 6 − ⋯ S_2=\sum_{n=1}^\infin a_{2n-1}=\sum_{n=1}^\infin\Big(\dfrac{1}{2n}-\dfrac{1}{2n+1}\Big)=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\cdots S2=n=1∑∞a2n−1=n=1∑∞(2n1−2n+11)=21−31+41−51+61−⋯
余下部分在幂级数展开一节求解。