数学之魂
数学的对象与方法
数学的思想与方法
数学的特点与地位
1、概念的抽象性
2、推理的严密性
3、结论的确定性
4、数学的地位：基础性、普适性、可靠性
tips：
演绎推理是收敛性思维
类比推理是发散性思维
归纳推理是从个体认识群体的推理，从特殊到一般
属于拓扑变换的有：橡皮筋拉伸、纸张折叠；
数与形是数学的两大基石
数学之功
数学的功能
实用、教育、语言、文化：
语言功能
数学语言包括：符号、公式、法则、定理、方程。。。
特点：简单化、清晰化、扩展化
文化功能
深化人类对世界的认识，推动人类物质、精神文明的发展
升华人类的精神和品格
1、深入到社会的每个角落
2、是人类创造并且传承下来的知识、方法、思想
3、影响着人类的思想
数学文化的内涵：知识性成分、观念性成分
数学的价值
1、教学与个人成长
数学意识、数学语言、数学技能
数学思维的特点：抽象性、创造性、逻辑性、形式化
抽象化（抓共性、看本质）：速度=x/t、切线=y/x
逻辑性：演绎推理（精细严谨）
形式化：抓本质共性、建立统一模型
2、数学与人类生活
提高效率、解释疑问、理智判断、科学决策
exp：
三条腿的椅子一定能在不平整的地板上放稳
四条腿（等长）的椅子一定能在不平整的地板上放稳
3、数学与科技发展
数学是科学的语言（建模）
数学孕育科学
exp：万有引力定律、相对论、黑洞理论、奇性理论、分子生物与拓扑学、数量遗传学
数学是科学的工具
exp：地质勘查、污染问题
4、数学与社会进步
数学工具是促进物质文明的重要力量
数学理性是促进精神文明的重要因素
数学美学是促进艺术发展的重要基础
数学之旅
数学的分类
1、从历史看
初等数学和古代数学（16世纪以前）
古希腊建立的欧式几何学
古代中国、古印度、古巴比伦时期建立的算术
欧洲文艺复兴时期发展起来的代数方程
变量数学（17--19世纪初期，数形结合）
17世纪，笛卡尔建立了解析几何（标志）
微积分
特点：从静态到动态、从逻辑到代数
近代数学（19世纪）
五次及以上的代数方程不存在通用的求根公式
几何的非欧化
对之前数学的提升与完善
现代数学（20世界）
1900年希尔伯特提出了23个数学问题（起点）
基础：Cantor集合论
特征：
单变量到多变量、低维到高维
从线性到非线性
局部到整体，简单到复杂
连续到间断，稳定到分叉
精确到模糊
计算机的应用
趋势：逐步走向统一、分支增加、表现形式抽象化
2、从对象与方法看
基础数学（代数、几何、分析）
应用数学
计算数学（计算的方法）
概率统计（随机）
运筹与控制论（管理）
数学的分支发展概观
1、几何学通论
思辨方法：欧几里得几何学
代数方法：笛卡尔的解析几何
向量几何：不依赖于坐标系
分形几何学：计算机的应用
2、代数学大观
起源于古代中国和古埃及
初等代数学
高等代数学：线性代数、多项式代数
3、微积分大意
微积分：17世纪英国数学家牛顿、德国数学家莱布尼茨分别独立建立
研究对象为函数
研究工具为极限
研究内容：微分、积分、微积分基本定理
4、随机数学与模糊数学
随机数学：研究确定性与不确定性
模糊数学：研究事物的程度
数学的形成与发展因素
实用、科学、哲学、美学
tips：
近代数学的特点有：
数学之理
数学思维及其价值
发散性思维：类比、归纳、迁移、想象
感性、感性、感觉
具有或然性、创造性
属于合情推理
收敛性思维：三段论、反证法、数学归纳法
理性
具有必然性、正确性
属于演绎推理
数学故事话思维
1、数学关注什么
追求真理、正确、规律、准确、本质
2、数学如何思考
化归思想：未知-->已知
复杂-->简单
抽象-->具体
类比思想
归纳、演绎
逆向思维
假设、推理、反证
3、数学如何表达
严谨
数学游戏话思维
1、躲三十
exp：
只有一堆石子的情况，假定石子的总数为30。
甲赢则需要在最后取走第26颗石子，方能利于不败之地。对于26颗石子，则需要取走第22颗石子才能在下一轮取走第26颗石子。以此类推需要分别取走第26、22、18、14、10、6、2颗石子。因此需要先手取两颗石子，方能立于不败之地。
2、取石子
exp：
对于只有一堆石子的情况，假定石子的总数为30。
甲赢则需要在最后取走第26颗石子，方能利于不败之地。对于26颗石子，则需要取走第22颗石子才能在下一轮取走第26颗石子。以此类推需要分别取走第26、22、18、14、10、6、2颗石子。因此需要先手取两颗石子，方能立于不败之地。
对于N堆石子的情况，只要保证任意序号的石子堆对（1+3）的取模结果相同，则可以确定该序号的石子堆可以取胜。
序号为A的石子堆为18个，序号为B的石子堆为22个，甲取在任意堆中取任意个石子，乙在另一堆中取相同数量的石子，即可保证A和B的石子数量对（1+3）取模结果相同，这样就可以保证胜局。
3、变形取石子
exp：
规则：每人每次可以在其中一堆中取走任意多颗石子，取走最后一颗石子的人获胜。（一次只能在其中一堆中取石子，同时也不得不取石子）
对于只有一堆石子，先手的人获胜
对于两堆石子，保证两堆石子的数量相同即可锁定胜局
对于三堆石子，有：
a、至少有两堆石子数量相同。先手将剩下的一堆不同数量的石子取完，留给对方两堆相同的石子。
b、三堆石子互不相同。留给对方1、2、3个石子的局面即可锁定胜局-->留给对方（1,2m，2m+1）为赢局。
4、取石子赢局特征
转换为二进制，相加，留下偶型残局一定是赢局（相加结果的各个位都是偶数，此处不做进位处理）。
奇型残局（相加结果的各个位存在至少一个奇数，此处不做进位处理）。
原因：1、偶型残局取子后一定变为奇型残局；
2、任何的奇型残局，一定有一种取法，使得取子后变为偶型残局。
tips：
数学之辩
动中有静
1、一个魔术
公理-->推理-->定理
2、动中有静
exp：轴对称、旋转、不动点定理
变中有恒
1、变化中的常数
凸多边形的外角和为360°
内角和为：（n-2）*180°
欧拉公式：f-e+v=2
面数-顶点数+边数=2
在平面上：f-e+v=1
三角形的面积：S=sqrt（p(p-a)(p-b)(p-c)）
p=(a+b+c)/2
2、变化中的关系
3、变化中的恒等
化归，抓住事物的不变部分。
乱中有序
异中有同
情中有理
蜂窝建造、鸽子原理
一个聚会当中，一定有两个人在场的朋友数量相同
理中有用
平均：算术平均用于分配
几何平均用于几何
调和平均用于音乐
欧拉定理
反证法
tips：
数学之美
美的根源于特征
1、美的感性特征（外在）
简洁性、和谐性、奇异性
2、美的理性特征（内在）
具有社会性
3、数学美的根源
数学关注本质、共性、规律、联系，具有简洁、和谐之美
数学反映自然、社会，重视变化、特例，具有奇异之美
4、如何欣赏数学美
思考、思维
5、数学的简洁之美
符号美：阶乘、幂将算式的表达形式简单化
常数美：f-e+v=2
统一美：克莱因用变化群的观点统一了十九世纪的几何学
6、数学的和谐之美
对称美、序列美、节奏美
exp：导数与积分、矩阵转置与反函数
7、数学的奇异之美
有限美、神秘美、对比美、滑稽美
数学方法之美
1、认识的飞跃
2、演绎法之美
3、类比法之美
4、数形结合之美
勾股定理
5、此处无形胜有形
存在性证明：构造性证明、纯理性证明
抽屉原理、排中律
6、从低级数学到高级数学
数学结论之美
1、三角形之美
稳定性、三角形的五心
2、圆形之美
3、矩形之美
黄金分割：制作五角星 0.618
4、斐波那契数列之美
对于斐波那契数列：an+1=an*1.618
exp：爬楼梯，计算爬楼梯的方法数量：an=an-1+an-2
斐波那契数列的第n+1项可以通过n阶行列式进行表示
积：任何相邻两项之积等于该较小项及其前各项平方和
an *an+1-an *an-1=an^2
an*an+1=an^2+an-1^2+......+a1^2
任何相隔两项之积等于其中间数的平方+1 -1
an-1*an+1=an^2+(-1)^n
任何间隔奇数个项的两项之积等于其中间数的平方+1 -1
an-2*an+2=an^2+(-1)^n+1
商：任何相邻前后两项之商趋于一个稳定的数值 0.618
任何相邻后前两项之商趋于一个稳定的数值 1.618
各项被某数除的余数是周期的，每有限项一循环（以递归的形式生成的数列也满足该性质）
斐波那契数列的前n项和：a1+a2+......+an=an+2-a2
am+am+1+...+an=an+2-am+1
任何相邻10项之和等于这10项中第7项的11倍
5、自然对数的底
tips：
数学之奇
实数系统
1、数系扩充概述
数是数学的两大基石之一。数的产生和发展源自于实用需求或数学自身发展需求。
无理数的承认在公元前4世纪。
2、有理数集
有限小数、无限循环小数。
所有的正整数和正偶数一样多（可以一一对应：n=2n）
所有的正整数和平方数一样多
有理数集是可数集
有理数集的长度为0
有理数是封闭的
3、实数集
实数是封闭的
实数集是不可数集，不能与自然数建立一一对应
4、无限集合的基数
可数集基数N0的运算性质：No+n=No
No+No=No，nNo=No
No^n=No
代数数集是可数集
实数集是不可数集，基为N1（连续统基数）
运算性质：N1+n+No=N1
N1+N1=N1，nN1=N1
NoN1=N1， N1^n=N1
5、认识超穷数
Nx=2^Nx-1
6、连续统假设
三种几何并存
1、欧几里得几何
2、非欧几何
罗巴切夫斯基将平行公理（第五公理）改为过直线外一点可以作两条直线与之不相交。（非欧几何开始的标志）
黎曼几何
3、三种几何对比
罗氏几何：适用于太空或原子核世界 小于180° 三角形面积大
欧式几何：日常小范围内 180°
黎曼几何：地球上远距离旅行 大于180° 三角形面积小
河图洛书与幻方
1、认识幻方
洛书：任意横竖斜各条直线上的三个数之和均等于15
二阶幻方不存在，3阶幻方只有一种，4阶幻方有880种
若幻方各个数是从1到n^2的连续自然数，则称之为标准幻方
n阶标准幻方的幻和为：n*(n^2+1)/2
神奇、启发智力、应用之需
分类（阶数）：奇数阶幻方、偶数阶幻方
偶数阶幻方：双偶阶幻方、单偶阶幻方
分类（性质）：平方幻方（双重幻方）、和积幻方（乘积幻方）
2、构造幻方
奇数阶幻方的构造：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺进
exp：
奇数阶幻方：
exp：
偶数阶幻方的构造方法：
海尔构造法：
然后将方阵B进行转置，得到方阵C
接着把方阵C中的每一个数分别用其相对应的根数进行替换，得到新的方阵D （根数=n（p-1））
最后将方阵B和方阵D相加，得到一个n阶的幻方E
双偶阶幻方的构造方法：
补数=n^2+1-p(n为阶数)——esp：四阶幻方当中，1的补数为16, 9的补数为8
1、将1到n^2依次填入到方阵的各个方格内（从左到右，从上到下）
2、分别在对角线做出一条线，然后连接四条边的中点，得到一个正方形。
3、将在线上的所有数，换成其补数
3、欣赏幻方
tips：
数学之趣
数字之趣
数字黑洞：经过若干规则的操作后，得到的结果相同
卡普雷卡黑洞6174（495，只需要6个循环；09）：任意选择一个四位数（数字不能全相同），把所有的数字从大到小排列，再把数字从小到大排列，用前者减去后者，得到一个新的数字，重复上述操作。7个循环之内，必然会得到6174。（大数减去小数为9的倍数）
123黑洞（西西弗斯串）：任意取一个数，算出它的偶数个数，奇数个数以及总位数，按照（偶、奇、总）排列，得到一个新的数，重复上述过程，最终必将得到一个123的结果。
153黑洞：任意取一个3的倍数，求其个位数字的立方和为新的数，对新数重复上述过程，最终必定会得到153这个结果。
1与4黑洞：任意一个自然数，求其各位数字的平方和为新的数，对新书重复上述过程，最终的结果必定是1或者4。
3x+1问题：对任意自然数，若为偶数，则除以2，否则乘3+1，重复上述操作，最终结果必然是1。
数形之趣
1、勾股定理——几何观点
几何学有两大宝藏：勾股定理（毕达哥拉斯定理）、黄金分割。
中国证明勾股定理：出入相补图
2、勾股定理——代数观点
在边长是整数的直角三角形中：勾股中必定有一个数是3的倍数
勾股中必定有一个数是4的倍数
勾股弦中必定有一个数是5的倍数
不存在勾股同时是奇数，而弦为偶数的组合
弦与勾股中某一个数的和、差均为完全平方数
3、勾股定理——勾股数趣谈
除了1和2之外，任何一个自然数都可以作为整数边长直角三角形的一个直角边边长
逻辑之趣
1、悖论起源与定义
从自身的结论出发可以导出矛盾的事实。
芝诺悖论、说谎悖论
2、悖论与数学发展
第一次数学危机：对于无理数的认识
第二次数学危机：微积分的危机（方法论的变革）
第三次数学危机：对于集合论的认识（认识论的不严谨）
3、悖论示例与启示
悖论无法避免、悖论可以解决
条件收敛级数不满足交换律
数学、游戏与魔术
1、有和无——二进制魔术
exp：10111——>第1、2、3、5张表格有，其他表格没有
2、奇与偶——动了哪张牌
3、序与数——你两的秘密我知道
tips：
数学之妙
数学归纳法原理
数学归纳法变形：
假定An和Bn是自然数相关的两种命题，如果：
（1）当n=1时命题A1是成立的；
（2）假设当n=k时，命题Ak是成立的，可以证明命题Bk也是成立的；
（3）假设当n=k时命题Bk是成立的，可以证明当n=k+1时命题Ak+1也是成立的
那么命题An、Bn对所有的自然数n都是成立的。
两色定理：在一张纸上随意画一些直线，这些直线把这张纸分割成若干个区域。
把这假象成一个世界地图，只要对其填色以便区分各个不同的国家，只需要两种颜色就够了。
反证法与抽屉原理
反证法是间接证明法
反证法的依据是逻辑思维中的矛盾律和排中律
抽屉原理——>鸽笼原理
任意给定的三个整数中，必定有两个整数其和为偶数
任意给定的5个整数中，必定有3个整数，其和是3的倍数
在坐标平面上，任意取5个整点，则必定存在其中两个整点，其连线的中点仍然是整点
在n维空间中，任意取2^n+1个整点，则必定存在其中两个整点，其连线的重点仍然是整点
在任意的6个人中，一定有3个人互相都认识或者互相都不认识
七桥问题与一笔画定定理
七桥问题既不是代数问题，也不是平面几何问题
一个图可以一笔画的充要条件是：奇点的个数为0或2
图论、拓扑学（位置几何学，不关心具体的形状，只关注点与点的位置关系）
数论与密码
加密方法：代换法
RSA编码方法：大数分解是极端困难的
过程：（1）对方将明文转化为密文y:x^n=y(modN)
（2）对方发送密文y
（3）我方收到密文y后转化为明文x：y^m=x(modN)
数学之问
古代三大几何难题
1、化圆为方
2、三等分任意角
3、倍立方体（作一个立方体，其体积为一已知立方体的两倍）
1637年笛卡儿创建解析几何以后，许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。1837年旺策尔(Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明。1882年林得曼（Linderman）也证明了π的超越性（即π不为任何整数系数多次式的根），化圆为方的不可能性也得以确立。
费马猜想
费马猜想：当整数n>2时，关于x^n+y^n=z^n没有正整数解。（1637年左右）
欧拉证明了当n=3的时候，费马猜想是成立的，发表在《代数指南》中，方法是“无限下降法”
已经解决
哥德巴赫猜想
哥德巴赫猜想：任意一个大于5的整数都可以写成三个质数之和
常用的说法：任意一个大于2的偶数都可以写成两个质数之和
把命题"任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"。1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和"。
尚未解决
四色猜想
已经被解决
庞加莱猜想
拓扑学(佩雷尔曼已经解决该猜想)
庞加莱猜想是一个拓扑学中带有基本意义的命题，将有助于人类更好地研究三维空间，其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识。
“任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。”
简单的说，一个闭的三维流形就是一个有边界的三维空间；单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间，假如每条封闭的曲线都能收缩成一点，这个空间就一定是一个三维球面 [1] 。
后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。
黎曼猜想
尚未被解决
近代数学三大难题：费马猜想、四色猜想、哥德巴赫猜想