函数的连续性与间断点

函数的连续性

定义

设函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某一邻域内有定义,如果$$\lim_{\Delta x\to0}\Delta y=\lim_{\Delta x\to 0}[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0,$$那么就称函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_0\) 连续.

为了应用方便起见,下面把函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_0\) 连续的定义用不同的方式来叙述.

设 \(x=x_0+\Delta x\),则 \(\Delta x\to 0\) 就是 \(x\to x_0\).又由于$$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=f(x)-f(x_0),$$即$$f(x)=f(x_0)+\Delta y,$$可见 \(\Delta y\to0\) 就是 \(f(x)\to f(x_0)\),因此$$\lim_{\Delta x\to0}\Delta y$$和$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$$相当.所以函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_0\) 连续的定义又可叙述如下:

设函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某一邻域内有定义,如果$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0),$$那么就称函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 连续.

由函数 \(f(x)\) 当 \(x\to x_0\) 时的极限的定义可知,上述定义也可以用"\(\varepsilon-\delta\)"语言表达:

\(f(x)\) 在点 \(x_0\) 连续 \(\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0\),\(\exists\ \delta>0\),当 \(|x-x_0|<\delta\) 时,有 \(|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\).

下面引出左连续和右连续的概念.

如果 \(\lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0^-)\) 存在且等于 \(f(x_0)\),即$$f(x_0^-)=f(x_0),$$那么就说函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 左连续.

如果 \(\lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0^+)\) 存在且等于 \(f(x_0)\),即$$f(x_0^+)=f(x_0),$$那么就说函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 右连续.

在区间上没一点都是连续的函数叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.如果区间包含端点,那么函数在右端点连续是指左连续,在左端点连续是指右连续.

连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.

曾经证明过:如果 \(f(x)\) 是有理整函数(多项式),那么对于任意实数 \(x_0\),都有 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\),因此有理整函数在区间 \((-\infty,+\infty)\) 内是连续的.对于有理分式函数 \(F(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\),只要 \(Q(x)\not=0\),就有 \(\lim_{x\to x_0}F(x)=F(x_0)\),因此有理分式函数在其定义域内的每个点都是连续的.