《整体微分几何初步》教材勘误
沈一兵编著的2009年7月高等教育出版社的《整体微分几何初步》(第三版)是南京大学《微分几何》课程(2021年春季学期)的中文参考教材，因为精力所限，只给出在学习过程中发现的前三章的勘误(其中第7个错误和第8个错误由陈学长老师指出).
在第零章到第二章，至少有下面八个错误.
0.2节， \(E^3\) 中的曲面，P9，公式(2.9)，对偶基
\[\omega^1=\sqrt{g_{11}}du^1,\qquad\omega^2=\dfrac{g_{12}}{\sqrt{g_{11}}}du^1+\dfrac{\sqrt{g_{11}g_{22}-g_{12}^2}}{\sqrt{g_{11}}}du^2. \]应改为
\[\omega^1=\sqrt{g_{11}}du^1+\dfrac{\sqrt{g_{11}g_{22}-g_{12}^2}}{\sqrt{g_{11}}}du^2,\qquad\omega^2=\dfrac{g_{12}}{\sqrt{g_{11}}}du^1. \]0.3节，曲面上的曲率，P15，最后一段，主方向：
由线性代数知，Weingarten变换有两个实的特征值 \(k_1,k_2\) ，并可选取对应的特征向量 \(e_1,e_2\) ，使得 \(e_\alpha e_\beta=\delta^\alpha_\beta\) ，且
\(W(e_\alpha)=k_\alpha e_\alpha\) .
应改为
由线性代数知，Weingarten变换有两个实的特征值 \(k_1,k_2\) ，并可选取对应的特征向量，作为 \(e_1,e_2\) 在 \(x_1,x_2\) 下的坐标，使得 \(e_\alpha e_\beta=\delta^\alpha_\beta\) ，且 \(W(e_\alpha)=k_\alpha e_\alpha\) .
0.3节，曲面上的曲率，P18，中间一段，二阶近似：
利用(3.16)，记 \(\delta=\sqrt{(\Delta u^1)^2+(\Delta u^2)^2}\) ，它的二阶近似是
\[x(u^1+\Delta u^1,u^2+\Delta u^2)\\ =x(u^1,u^2)+[\Delta u^1\sqrt{g_{11}}+o(\delta)]e_1+[\Delta u^2\sqrt{g_{22}}+o(\delta)]e_2\\ +\dfrac{1}{2}[h_{11}(\Delta u^1)^2+h_{22}(\Delta u^2)^2+o(\delta^2)]e_3.\]应改为
利用(3.16)，记 \(\delta=\sqrt{(\Delta u^1)^2+(\Delta u^2)^2}\) ，它的二阶近似是
\[x(u^1+\Delta u^1,u^2+\Delta u^2)\\ =x(u^1,u^2)+[\Delta u^1\sqrt{g_{11}}+\Gamma_{\alpha\beta}^1\sqrt{g_{11}}\Delta u^\alpha\Delta u^\beta+o(\delta^2)]e_1\\ +[\Delta u^2\sqrt{g_{22}}+\Gamma_{\alpha\beta}^2\sqrt{g_{22}}\Delta u^\alpha\Delta u^\beta+o(\delta^2)]e_2\\ +\dfrac{1}{2}[h_{11}(\Delta u^1)^2+h_{22}(\Delta u^2)^2+o(\delta^2)]e_3.\]0.3节，曲面上的曲率，P20，中间一段，全脐曲面：
对上式两边求导，可得
\[n_{12}=-\lambda x_{12}-\dfrac{\partial\lambda}{\partial u^2}x_1. \]应改为
局部 \(\lambda=\dfrac{h_{\alpha\beta}}{g_{\alpha\beta}}\) 光滑，对上式两边求导，可得
\[n_{12}=-\lambda x_{12}-\dfrac{\partial\lambda}{\partial u^2}x_1. \]2.1节，平面曲线的某些整体性质，P65，中间一段，旋转指标：
因此
\[\int_0^Lk_rds=\int_0^l\left(\dfrac{d\theta}{dt}\right)ds=\theta(l)-\theta(0)=2\pi i_r(C). \]应改为
因此
\[\int_0^Lk_rds=\int_0^l\left(\dfrac{d\theta}{dt}\right)dt=\theta(l)-\theta(0)=2\pi i_r(C). \]2.1节，平面曲线的某些整体性质，P70，习题8，平行曲线：
(2) \(\bar{k}_r(s)=\dfrac{k_r(s)}{1+a}\) .
应改为
(2) \(\bar{k}_r(s)=\dfrac{k_r(s)}{1+ak_r(s)}\) .
2.2节，空间曲线的某些整体性质，P81，开头一段，球面曲线的全挠率定理：
根据定理条件，(2.15)中积分与路径 \(C\) 无关，因而被积函数是某个函数的全微分( \(\mod d\theta\) ).因此，存在函数 \(F:U\to R\) ，使
\[(de_2)Q=dF=F_1\omega^1+F_2\omega^2. \]应改为
根据定理条件，(2.15)中积分与路径 \(C\) 无关，选取 \(\sigma=\sigma_0\in\mathbb{Z}\) 的闭曲线族中的曲线，则被积函数是某个函数的全微分.因此，存在函数 \(F:U\to R\) ，使
\[(de_2)Q=dF=F_1\omega^1+F_2\omega^2. \]2.2节，空间曲线的某些整体性质，P81，中间一段，球面曲线的全挠率定理：
由于 \(\omega^1\) 和 \(\omega^2\) 是线性独立的，故从上式推得
\[F_1=0,F_2=0. \]应改为
由于 \(u^1,u^2\) 是独立的，故 \(\omega^1,\omega^2\) 是独立的，故从上式推得
\[F_1=0,F_2=0. \]