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前言
在光学腔、光机相互作用、光学参量下转换等过程中，其哈密顿量通常在激光频率的旋转框架下表示，这样可以使驱动场（激光场）不再含有时间t，处理起来较为方便。本文即介绍如何从旧的框架转到旋转框架。本文参考书Agarwal，quantum optics，chapter20 quantum optical effects in nano-mechanical systems.一、旧的哈密顿量
以最简单的光机系统为例，如图所示，一个部分反射的固定反射镜与一个可移动全反反射镜组成光学腔，假设可移动镜偏离光学腔共振位置，偏移量为
x
x
x，则整个系统的哈密顿量为
H
=
ℏ
ω
c
a
†
a
−
ℏ
G
a
†
a
x
+
1
2
m
ω
m
2
x
2
+
p
2
2
m
+
i
ℏ
ε
(
a
†
e
−
i
ω
l
t
−
a
e
i
ω
l
t
)
(1)
H=\hbar \omega_c a^{\dagger}a-\hbar G a^{\dagger}ax+\frac{1}{2}m\omega_{m}^2x^2+\frac{p^2}{2m}+i\hbar\varepsilon(a^{\dagger}e^{-i\omega_l t}-ae^{i\omega_l t}) \tag{1}
H=ℏωca†a−ℏGa†ax+21mωm2x2+2mp2+iℏε(a†e−iωlt−aeiωlt)(1)
第一项，内腔场的*哈密顿量；
第二项，光机相互作用哈密顿量，
G
=
−
∂
ω
c
∂
x
G=-\frac{\partial{\omega_c}}{\partial{x}}
G=−∂x∂ωc为单位偏移引起的频率移动；
第三项，谐振子势能；
第四项，谐振子动能；
第五项，腔外耦合进入的泵浦场。（ ？？？为什么写成这种形式呢 ）
二、激光频率旋转框架下的哈密顿量
在激光频率旋转框架下，泵浦场不再有时间t，下面进行该处理。
变换后的哈密顿量与之前哈密顿量（1）的关系为
H
r
o
t
=
R
H
o
l
d
R
†
+
i
ℏ
∂
R
∂
t
R
†
(2)
H_{rot}=RH_{old}R^{\dagger}+i\hbar \frac{\partial{R}}{\partial t}R^{\dagger} \tag{2}
Hrot=RHoldR†+iℏ∂t∂RR†(2)
其中，
R
=
e
i
ω
l
a
†
a
t
R=e^{i\omega_l a^{\dagger}at}
R=eiωla†at
下面为计算过程，敲公式太累，上图。