数字信号处理学习笔记

目录

Chap 1    时域离散信号和系统

1.2  模拟信号、时域离散信号、数字信号

数字信号处理涉及的三种信号:

  • 模拟信号——时域取值均连续(《信号与系统》中研究)
  • 时域离散信号——时域离散,任意取值
  • 数字信号——时域取值均离散
时域离散信号与数字信号的关系

时域离散信号——任意取值,通过对模拟信号进行等间隔采样而来

数字信号——将时域离散信号进行编码后在计算机中存储的二进制信号(因精度关系会)

在计算机位数足够大时,数字信号可近似看成时域离散信号。

时域离散信号的表示方法
  • 集合表示法 \(\qquad x(n)=\{\cdots,0.0000,0.6364,0.9000,0.6364,\underline{0.0000},-0.6364,-0.9000,-0.6364,\cdots\}\)
  • 公式表示法 \(\qquad x(n)=a^{\vert n\vert},\quad 0<a<1,\ -\infty<n<\infty\)
  • 图形表示法
常用时域离散信号
  • 单位脉冲序列

    \[\delta(n)=\left\{\begin{array}{ll} 1 & n=0 \\ 0 & n\neq0 \end{array}\right. \]

  • 单位阶跃序列

    \[u(n)=\left\{\begin{array}{ll} 1 & n\geq0\\ 0 & n<0 \end{array}\right. \]

  • 矩形序列

    \[R_N(n)=\left\{\begin{array}{ll} 1 & 0\leq n\leq N-1 \\ 0 & other \end{array}\right. \]

  • 实指数序列

    \[x(n)=a^nu(n) \]

  • 正弦序列与负指数序列

    \[x(n)=A\sin(\omega n+\theta) \]

    其中,\(\omega\) 为数字频率,对应模拟信号 \(x_a(t)=A\sin(\varOmega t+\theta)\) 采样为 \(\omega=\varOmega T\) .

  • 周期序列

    \[x(n)=x(n+N) \]

    其中满足上式的最小正整数 \(N\) 为序列周期。

    **注意周期判断一定要满足 \(N\) 是整数。这意味着形如 \(x(n)=\sin(n)\) 的序列不是周期序列,而 \(x(n)=\sin(\pi n)\) 才是周期序列。

1.3  时域离散系统

线性时不变时域离散系统
  • 线性性质

    对于 \(x(n)=ax_1(n)+bx_2(n)\),有

    \[T[ax_1(n)+bx_2(n)]=aT[x_1(n)]+bT[x_2(n)] \]

    则称系统为线性系统(否则为非线性系统)。

    判断技巧——微分方程中存在高次项 \(([x(n)]^2,x(n)x(n-1),\cdots)\)、常数项时是非线性系统。

  • 时不变特性

    对于 \(y(n)=T[x(n)]\),有

    \[y_1(n)=T[x(n-n_0)]=y(n-n_0) \]

    称系统为时不变系统(否则为时变系统)。

    判断技巧——微分方程中存在变系数、输入序列存在不为 \(x(n\pm k)\) 的形式或形如 \(x(2n),x(n^2),\cdots\) 的形式时是时变系统。

系统的因果性和稳定性
  • 系统的因果性

    \[h(n)=0,\qquad(n<0) \]

    称系统是因果系统(否则为非因果系统)。

    判断技巧——微分方程中存在 \(x(n+k),x(-n\pm k)\) 的形式 \((k>0)\)。

  • 系统的稳定性

    \[\displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{\infty}\vert h(n)\vert<\infty } \]

    则称系统是稳定系统(否则为非稳定系统)。

    判断技巧——冲激响应的时域取有限范围、值域有限的系统都是稳定系统。

线性时不变系统的输出和输入之间的关系

对于任一激励,其对应响应均为该系统的冲激响应与该激励的卷积。

\[\displaystyle{ y(n) = \sum_{m=-\infty}^\infty x(m)h(n-m)=x(n)*h(n) } \]

  • 卷积的计算方法
    • 图解法
    • 解析法
  • 卷积性质
    • \(x(n)=x(n)*\delta(n)\)
    • \(x(n-n_0)=x(n)*\delta(n-n_0)\)
    • \(y(n)=x(n)*h(n)=h(n)*x(n)\)
    • \(x(n)*[h_1(n)*h_2(n)]=[x(n)*h_1(n)]*h_2(n)\)
    • \(x(n)*[h_1(n)+h_2(n)]=x(n)*h_1(n)+x(n)*h_2(n)\)

1.4  时域离散系统的输入输出描述法——线性常系数差分方程

线性常系数差分方程

\[\sum_{i=0}^{N}a_iy(n-i)=\sum_{i=0}^{M}b_ix(n-i),\qquad a_0=1 \]

线性常系数差分方程的递推解法

想法:根据初始条件求出 \(y(0)(,y(1),\cdots)\),并通过递推给出任意 \(n\) 值的系统输出。

其他解法——微分方程,z域变换

滑动平均滤波器

本章介绍了一种简单的滤波器,作用是通过接收时刻 \(n\) 开始的,时长为 \(\Delta n\) 的输入信号,并在时刻 \(n+\Delta n\) 输出从 \(n\) 到 \(n+\Delta n\) 时刻的算术平均值,即

\[y(n)=\sum_{i=0}^{\Delta n-1}x(n-i). \]

从信号角度看,滑动平均滤波器起到了对快速变化的信号进行平滑处理的作用。

Chap 2    时域离散信号和系统的频域分析

本章介绍的主要内容是时域离散信号的傅里叶变换和z域变换,同时对时域采样定理的证明作前置铺垫。

2.2  时域离散信号的傅里叶变换

时域离散信号的傅里叶变换定义
  • 傅里叶变换定义与存在条件

    \[X(e^{j\omega})\triangleq\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-j\omega n} \]

    存在条件:\(\displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{\infty}\vert x(n)\vert<\infty }\)

    傅里叶变换不存在的处理方法——引入奇异函数、引入离散傅里叶级数

  • 傅里叶逆变换

    \[x(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi X(e^{j\omega})e^{j\omega n}\mathrm{d}\omega \]

    具体证明见《信号与系统》

周期信号的离散傅里叶级数
  • 离散傅里叶级数(离散傅里叶逆变换)

    \[\tilde{x}(n)=\sum_{k=0}^{N-1}a_ke^{j\frac{2\pi}{N}kn} \]

    根据上式的分析,等式两边 \(\tilde{x}(n)\) 和 \(a_k\) 等价位置互换,得到离散傅里叶系数的定义:

    \[\tilde{X}(k)=\sum_{k=0}^{N-1}\tilde{x}(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}. \]

    其中 \(\displaystyle{a_k=\frac{1}{N}\tilde{X}(k)}\,.\)

    由此定义

    \[\begin{array}{l} \displaystyle{\tilde{X}(k)= \mathrm{DFS}[\tilde{x}(n)] = \sum_{k=0}^{N-1}\tilde{x}(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}}, \\ \displaystyle{\tilde{x}(n)=\mathrm{IDFS}[\tilde{X}(k)] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\tilde{X}(k)e^{j\frac{2\pi}{N}kn}}. \end{array} \]

周期信号的傅里叶变换
  • 基础结论:\(\displaystyle{ e^{j\omega_0 n}\,\leftrightarrow\, 2\pi\sum_{r=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-\omega_0-2\pi r)}\)

    (类比:\(\displaystyle{ e^{j\omega_0 t}\,\leftrightarrow\, 2\pi\delta(\omega-\omega_0) }\))

  • 一般周期序列 \(\tilde{x}(n)\) 的傅里叶变换

    \[\displaystyle{ \tilde{x}(n) \,\leftrightarrow\, \frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\tilde{X}(k)\delta\left( \omega-\frac{2\pi}{N}k \right) } \]

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