Chap 1 时域离散信号和系统
1.2 模拟信号、时域离散信号、数字信号
数字信号处理涉及的三种信号：
- 模拟信号——时域取值均连续（《信号与系统》中研究）
- 时域离散信号——时域离散，任意取值
- 数字信号——时域取值均离散
时域离散信号与数字信号的关系
时域离散信号——任意取值，通过对模拟信号进行等间隔采样而来
数字信号——将时域离散信号进行编码后在计算机中存储的二进制信号（因精度关系会）
在计算机位数足够大时，数字信号可近似看成时域离散信号。
时域离散信号的表示方法
- 集合表示法 \(\qquad x(n)=\{\cdots,0.0000,0.6364,0.9000,0.6364,\underline{0.0000},-0.6364,-0.9000,-0.6364,\cdots\}\)
- 公式表示法 \(\qquad x(n)=a^{\vert n\vert},\quad 0<a<1,\ -\infty<n<\infty\)
- 图形表示法
常用时域离散信号
-
单位脉冲序列
\[\delta(n)=\left\{\begin{array}{ll} 1 & n=0 \\ 0 & n\neq0 \end{array}\right. \] -
单位阶跃序列
\[u(n)=\left\{\begin{array}{ll} 1 & n\geq0\\ 0 & n<0 \end{array}\right. \] -
矩形序列
\[R_N(n)=\left\{\begin{array}{ll} 1 & 0\leq n\leq N-1 \\ 0 & other \end{array}\right. \] -
实指数序列
\[x(n)=a^nu(n) \] -
正弦序列与负指数序列
\[x(n)=A\sin(\omega n+\theta) \]其中，\(\omega\) 为数字频率，对应模拟信号 \(x_a(t)=A\sin(\varOmega t+\theta)\) 采样为 \(\omega=\varOmega T\) .
-
周期序列
\[x(n)=x(n+N) \]其中满足上式的最小正整数 \(N\) 为序列周期。
**注意周期判断一定要满足 \(N\) 是整数。这意味着形如 \(x(n)=\sin(n)\) 的序列不是周期序列，而 \(x(n)=\sin(\pi n)\) 才是周期序列。
1.3 时域离散系统
线性时不变时域离散系统
-
线性性质
对于 \(x(n)=ax_1(n)+bx_2(n)\)，有
\[T[ax_1(n)+bx_2(n)]=aT[x_1(n)]+bT[x_2(n)] \]则称系统为线性系统（否则为非线性系统）。
判断技巧——微分方程中存在高次项 \(([x(n)]^2,x(n)x(n-1),\cdots)\)、常数项时是非线性系统。
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时不变特性
对于 \(y(n)=T[x(n)]\)，有
\[y_1(n)=T[x(n-n_0)]=y(n-n_0) \]称系统为时不变系统（否则为时变系统）。
判断技巧——微分方程中存在变系数、输入序列存在不为 \(x(n\pm k)\) 的形式或形如 \(x(2n),x(n^2),\cdots\) 的形式时是时变系统。
系统的因果性和稳定性
-
系统的因果性
\[h(n)=0,\qquad(n<0) \]称系统是因果系统（否则为非因果系统）。
判断技巧——微分方程中存在 \(x(n+k),x(-n\pm k)\) 的形式 \((k>0)\)。
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系统的稳定性
\[\displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{\infty}\vert h(n)\vert<\infty } \]则称系统是稳定系统（否则为非稳定系统）。
判断技巧——冲激响应的时域取有限范围、值域有限的系统都是稳定系统。
线性时不变系统的输出和输入之间的关系
对于任一激励，其对应响应均为该系统的冲激响应与该激励的卷积。
\[\displaystyle{ y(n) = \sum_{m=-\infty}^\infty x(m)h(n-m)=x(n)*h(n) } \]- 卷积的计算方法
- 图解法
- 解析法
- 卷积性质
- \(x(n)=x(n)*\delta(n)\)
- \(x(n-n_0)=x(n)*\delta(n-n_0)\)
- \(y(n)=x(n)*h(n)=h(n)*x(n)\)
- \(x(n)*[h_1(n)*h_2(n)]=[x(n)*h_1(n)]*h_2(n)\)
- \(x(n)*[h_1(n)+h_2(n)]=x(n)*h_1(n)+x(n)*h_2(n)\)
1.4 时域离散系统的输入输出描述法——线性常系数差分方程
线性常系数差分方程
\[\sum_{i=0}^{N}a_iy(n-i)=\sum_{i=0}^{M}b_ix(n-i),\qquad a_0=1 \]线性常系数差分方程的递推解法
想法：根据初始条件求出 \(y(0)(,y(1),\cdots)\)，并通过递推给出任意 \(n\) 值的系统输出。
其他解法——微分方程，z域变换
滑动平均滤波器
本章介绍了一种简单的滤波器，作用是通过接收时刻 \(n\) 开始的，时长为 \(\Delta n\) 的输入信号，并在时刻 \(n+\Delta n\) 输出从 \(n\) 到 \(n+\Delta n\) 时刻的算术平均值，即
\[y(n)=\sum_{i=0}^{\Delta n-1}x(n-i). \]从信号角度看，滑动平均滤波器起到了对快速变化的信号进行平滑处理的作用。
Chap 2 时域离散信号和系统的频域分析
本章介绍的主要内容是时域离散信号的傅里叶变换和z域变换，同时对时域采样定理的证明作前置铺垫。
2.2 时域离散信号的傅里叶变换
时域离散信号的傅里叶变换定义
-
傅里叶变换定义与存在条件
\[X(e^{j\omega})\triangleq\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-j\omega n} \]存在条件：\(\displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{\infty}\vert x(n)\vert<\infty }\)
傅里叶变换不存在的处理方法——引入奇异函数、引入离散傅里叶级数
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傅里叶逆变换
\[x(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi X(e^{j\omega})e^{j\omega n}\mathrm{d}\omega \]具体证明见《信号与系统》
周期信号的离散傅里叶级数
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离散傅里叶级数（离散傅里叶逆变换）
\[\tilde{x}(n)=\sum_{k=0}^{N-1}a_ke^{j\frac{2\pi}{N}kn} \]根据上式的分析，等式两边 \(\tilde{x}(n)\) 和 \(a_k\) 等价位置互换，得到离散傅里叶系数的定义：
\[\tilde{X}(k)=\sum_{k=0}^{N-1}\tilde{x}(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}. \]其中 \(\displaystyle{a_k=\frac{1}{N}\tilde{X}(k)}\,.\)
由此定义
\[\begin{array}{l} \displaystyle{\tilde{X}(k)= \mathrm{DFS}[\tilde{x}(n)] = \sum_{k=0}^{N-1}\tilde{x}(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}}, \\ \displaystyle{\tilde{x}(n)=\mathrm{IDFS}[\tilde{X}(k)] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\tilde{X}(k)e^{j\frac{2\pi}{N}kn}}. \end{array} \]
周期信号的傅里叶变换
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基础结论：\(\displaystyle{ e^{j\omega_0 n}\,\leftrightarrow\, 2\pi\sum_{r=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-\omega_0-2\pi r)}\)
（类比：\(\displaystyle{ e^{j\omega_0 t}\,\leftrightarrow\, 2\pi\delta(\omega-\omega_0) }\)）
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一般周期序列 \(\tilde{x}(n)\) 的傅里叶变换
\[\displaystyle{ \tilde{x}(n) \,\leftrightarrow\, \frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\tilde{X}(k)\delta\left( \omega-\frac{2\pi}{N}k \right) } \]